A new proof of two of Ramanujan's identities (Q2646457)

Ist \(f(x)\) die den Zerfällungsanzahlen \(p(n)\) zugeordnete erzeugende Funktion, so hat Ramanujan behauptet: \[ \begin{aligned} p(4) + p(9)x + p(14)x^2 +\cdots & = 5 F_5^{(5)}(x), \\ p(5) + p(12)x + p(19)x^2 +\cdots & = 7 F_3^{(7)}(x) + 49x F_7^{(7)}(x), \end{aligned} \] wobei \(F_\rho^{(p)}(x) = (f(x))^{\rho+1}(f(x^p))^{-\rho}\) ist [\textit{S. Ramanujan}, Collected Papers, Cambridge: Cambridge University Press (1927; JFM 53.0030.02, S. 213) \url{https://www.imsc.res.in/~rao/ramanujan/CamUnivCpapers/Cpaper25/page4.htm}]. Diese Identitäten wurden nachher von \textit{H. B. C. Darling} [Proc. Lond. Math. Soc. (2) 19, 350--372 (1921; JFM 48.0151.01)] und \textit{L. J. Mordell} [ibid. 20, 408--416 (1922; JFM 48.0151.03)] bewiesen. Verff. beweisen nun beide Identitäten von neuem, indem sie die Produkte \(F_\rho^{(p)}(x)\) in Potenzreihen entwickeln und die dabei auftretenden Koeffizienten mit den von Rademacher hergeleiteten Ausdrücken für \(p(n)\) [Proc. Lond. Math,. Soc. (2) 43, 241--254 (1937; Zbl 0017.05503)] vergleichen. Der Beweis basiert auch nun auf der Transformationsformel von \(f(x)\) und der von Hardy-Ramanujan zuerst für die Untersuchung von \(p(n)\) angewandten Fareyzerschneidung des Kreisbogens. Vgl. hierzu Verff., Ann. Math. (2) 39, 433--462 (1938; Zbl 0019.02201)].