On extremal properties of the derivatives of polynomials (Q2646747)

Das Polynom \(n\)-ten Grades \(f(x)\) genüge im Intervall \(J: -1\leq x \leq +1\) der Ungleichung \(|f(x)| \leq 1\). Nach A. Markoff [Abh. Akad. Wiss. St. Petersburg 62, 1-24 (1889)] gilt dann in \(J: |f'(x)| \leq n^2\), und die Gleichheit wird durch die Tschebyscheffpolynome erreicht. Macht man nun die weitere Voraussetzung, daß \(f(x)\) nur reelle Wurzeln besitzen und \(J\) frei von Wurzeln sein soll, so kann der Verf. durch elementare Abschätzungen die schärfere Ungleichung \(|f'(x)| < {1 \over 2} en\) beweisen, in der \(e\) durch keine kleinere Konstante ersetzbar ist. Legt man hingegen dem reellem Polynom \(f(x)\), für das in \(J: |f(x)| < 1\) gilt, die Zusatzbedingung auf, daß \(f(x)\) keine Wurzeln im Innern des Einheitskreises haben soll, so läßt sich die Markoffsche Ungleichung folgendermaßen verbessern: Es ist für \(-1+c < x < 1-c\), \(c > 0\): \(|f'(x)| < {4 \over c^2} \sqrt n\) bei genügend großen Werten von \(n\): \(\sqrt n\) kann dabei durch keine langsamer wachsende Funktion von \(n\) ersetzt werden.