On the arithmetic theory of algebraic function fields (Q2647271)

Verf. unternimmt es in dieser Arbeit, eine Reihe von Tatsachen aus der Theorie der algebraischen Funktionen einer Unbestimmten, die in den letzten Jabren in vieler Hinsicht fortentwickelt worden ist, zusammenhängend darzustellen. Es handelt sich vor allem um die zahlentheoretische Seite der Theorie und die algebraischen Grundlagen für die Sätze über rationale und ganzzahlige Punktgruppen auf algebraischen Kurven, die entsprechenden Sätze für \(p\)-adische Punktgruppen und Punktgruppen mod \(p\) von Lutz und Hasse und die algebraische Klassenkörperkonstruktion von Deuring. \S 1 enthält die Grundbegriffe, algebraische Funktionenkörper \(K/\Omega\), Divisoren, rationale Punkte (Primdivisoren ersten Grades), algebraische Punkte (Primdivisoren ersten Grades der durch algebraischen Abschluß des Konstantenkörpers \(\Omega\) zu \(\overline{\Omega}\) entstehenden algebraisch abgeschlossenen Konstantenerweiterung \(\overline{K:\overline{\Omega}}\); \S 2 die wichtigsten Tatsachen über Divisorenklassen, Riemann-Rochschen Satz und Folgerungen, ferner einen wohl neuen Satz: Ist \(M\) eine primitive Klasse, \(C\) eine Klasse mit \(\deg C \geq 3g\) (\(g\) Geschlecht), so ist \(\{MC\}=\{M\}\{C\}\), wo \(\{C\}\) den Modul der ganzen Divisoren von \(C\) bezeichnet, schließlich die zu einem ganzen Divisor \(\mathfrak m\) gehörige Erzeugung: Wenn \(1, x_1,\dots, x_n\) eine Basis von \(\mathfrak m\) bedeutet, so ist der Integritätsbereich \(K^{\mathfrak m}\) aller \(z\) aus \(K\), deren Nenner in Potenzen von \(\mathfrak m\) aufgehen, gleich \(\Omega [x_1,\dots, x_n]\), also \(K =\Omega (x_1,\dots, x_n)\). Durch Angabe von \(x_1,\dots, x_n\) und das System (\(G_0\)) der algebraischen Gleichungen über \(\Omega\) zwischen den \(x_p\) ist \(K\) gegeben, daher Erzeugung. \S 3 führt die homogene Betrachtungsweise ein, wobei der Homogenitätsfaktor, anders als sonst meist üblich, aus \(K\) genommen wird, was den Vorteil hat, daß er mit in die Arithmetik von \(K\) einbezogen werden kann (würde er als neue Unbestimmte angenommen, so ist das nicht möglich). Ein homogenes Elementsystem \(z_0: z_1 : z_2:\dots : z_k\) bestimmt eindeutig ein zu ihm proportionales System teilerfremder ganzer Divisoren \(a_0: a_1 :\dots :a_k\), die einer Klasse, der Klasse \(A\) des Systems \(z_0:z_1:\dots :z_k\), angehören. Wenn \(z_0:z_1:\dots :z_k\) eine Basis aller ganzen Divisoren von \(A\) ist und \(A\) hinreichend hohen Grad hat, so wird jeder algebraische Punkt \(\overline{\mathfrak p}\) von \(K\) eindeutig durch die Verhältnisse \(z_0(\overline{\mathfrak p}):z_1(\overline{\mathfrak p}):\dots :z_k(\overline{\mathfrak p})\) der \(z_\nu\) mod \(\overline{\mathfrak p}\) festgelegt. Die \(p_{\nu} = z(\overline{\mathfrak p})\) heißen die homogenen \(A\)-Koordinaten von \(\overline{\mathfrak p}\). Geometrisch bedeutet dies, daß \(z_0:z_1:\dots :z_k\) im projektiven \(k\) dimensionalen Raum ein singularitätenfreies projektives Modell von \(K\) erzeugen. \(\Omega(\overline{\mathfrak p}=\Omega(\overline{p_1},\dots,\overline{p_k})=\Omega(\overline{p_1}:\dots:\overline{p_1})\) heißt der Koordinatenkörper von \(\overline{\mathfrak m}\). Dies läßt sich auf beliebige ganze Divisoren verallgemeinern und führt auf Darstellungen \(\overline{\mathfrak p} = \frac{(\dots,\overline{p_jz_i-p_iz_j}\dots)}{(z_0,\dots,z_k)}\) bzw \(\mathfrak a = \frac{(A_0(z)\dots,A_{ra}(z)}{(z_0,\dots,z_k)^a}\) der algebraischen Punkte \(\overline{\mathfrak p}\) bzw. der ganzen Divisoren \(\mathfrak a\) von \(K\) als Quotienten von größten gemeinsamen Teilern von Elementen, d. h. Hauptdivisoren. Dabei sind die \(A_i(z)\) Polynome der \(z_\nu\) mit Koeffizienten aus \(\Omega\) den \(A\)-Koordinaten von \(\mathfrak a\). Eine Erzeugung \(K=\Omega (z_1,\dots, z_k)\) kann durch Einführung von Quotienten \(z_{\nu}/z_o\) statt \(z_\nu\) als homoge Erzeugung \(K=\Omega (z_1:\dots: z_k)\) mit einem (\(G_0\)) entsprechenden homogenen Gleichungssystem (\(G\)) zwischen den \(z_0,z_1,\dots, z_k\) aufgefaßt werden. Jedem algebraischen Punkt \(\overline{\mathfrak p}\) entspricht eine Lösung \(p_0: p_1:\dots: p_k\) von (\(G\)), es gilt aber auch die Umkehrung. \S 4 enthält die Sätze über die Divisorenklassengruppen. Klassen von \(K\) heißen rational, solche von \(\overline{K}\overline{\Omega}\) algebraisch, Klassen nullten Grades heißen Nullklassen. Ganze Divisoren \(g\)-ten Grades heißen rationale bzw. algebraische Punktgruppen. Ist \(\mathfrak O\) eine feste Bezugspunktgruppe, so stellen die Brüche \(\mathfrak P\mathfrak O\mathfrak P \) beliebige Punktgruppe, alle Nullklassen dar. Für \(g > 1\) ist diese Darstellung bei gegebenem \(\mathfrak O\) nicht immer eindeutig, weil es irreguläre Punktgruppen \(\mathfrak P\) mit \(\dim \mathfrak P > 1\) gibt. Die Klasse \(C\) heißt \(\mathfrak O\)-regulär, wenn \(\dim C\mathfrak O = 1\) ist, also \(C\) durch einen eindeutig bestimmten Quotienten dargestellt wird. Um die irregulären \(C\) zu behandeln, gibt es zwei Mittel: erstens den neuen. Satz: Zu gegebener Anzahl \(r\) gibt es eine endliche Menge \(\mathfrak O_r\) von algebraischen Punktgruppen \(\overline{\mathfrak O}\), so daß jedes System von \(r\) algebraischen Klassen \(\overline{C_1},\dots, \overline{C_r}\) für mindestens ein \(\overline{\mathfrak O}\) aus \(\mathfrak O_r\) \(\overline{\mathfrak O}\)-regulär ist; zweitens die Methode, als Bezugsgruppe die \(g\)-te Potenz \(\mathfrak o^g=\mathfrak O\) eines Primdivisors zu nehmen, und \(C\) durch \(\frac{\mathfrak P_{\nu}}{\mathfrak o_{\nu}}\) mit ganzem \(\mathfrak P_{\nu}\) und minimalem \(\nu\) darzustellen, dieses \(\mathfrak P_{\nu}\) ist eindeutig. Der bekannte Zusammenhang dieser Dinge mit der Theorie der Integrale erster Gattung im klassischen Fall wird noch dargestellt. \S 5 handelt von dem zu \(K/\Omega\) gehörigen Abelschen Funktionenkörper \(\mathcal K/\Omega\), der so erhalten wird: zu \(\Omega\) werden \(g\) unabhängige Unbestimmte \(x_1,\dots, x_g\) adjungiert, und in der algebraisch abgeschlossenen Hülle \(\overline{\Omega(x_1,\dots, x_g)}\) wird das Kompositum von \(g\) zu \(K = \Omega(x, y)\) isomorphen Körpern \(K_i = \Omega(x_i, y_i)\) betrachtet, das \(g!\) durch \(x_i,y_i\mapsto x_{p_i}0, y_{p_i}\) gegebene Automorphismen hat (\(p_1,\dots, p_g\) alle Permutationen von \(1,\dots g\)): deren Invariantenkörper ist \(\mathcal K/\Omega\). Man kann \(\mathcal K\) auch als Koordinatenkörper einer Punktgruppe der Konstantenerweiterung \(K (x_1,\dots, x_g)\Omega (x_1,\dots, x_g)\) erhalten, wenn jeder in ihr enthaltene Punkt transzendent, d. h. nicht schon in \(K/\Omega\) enthalten ist (höchsttranszendente Punktgruppe); jede solche Punktgruppe definiert einen bestimmten Isomorphismus von \(K/\Omega\) auf einen Teilkörper von \(\overline{\Omega(x_1,\dots, x_g)}/\Omega\). Dies sind die \textit{Darstellungen} von \(K/\Omega\). In \S 6 werden die Translationen, Spiegelungen und Meromorphismen des Abelschen Funktionenkörpers betrachtet. Ist \(C\) eine rationale Nullklasse von \(K/\Omega\), so wird durch \(\mathfrak X'\sim\mathfrak X C\) jeder höchsttranszendenten Punktgruppe \(\mathfrak X\) umkehrbar eindeutig eine andere höchsttranszendente Punktgruppe \(\mathfrak X'\) zugeordnet, deren Koordinatenkörper \(\Omega(\mathfrak X')\) mit \(\Omega(\mathfrak X)\) zusammenfällt. Diese Zuordnung \(\mathfrak X\to\mathfrak X'\) und zugleich der entstehende Automorphismus von \(\mathcal K\cong\Omega(\mathfrak X')=\Omega(\mathfrak X)\) heißt die \textit{Translation} \(\tau_o\). Die \textit{Spiegelungen} werden ähnlich erklärt. Es läßt sich nun die Wirkung der Multiplikatoren von \(K/\Omega\) (vgl. Ref., [J. Reine Angew. Math. 177, 161--191 (1937; Zbl 0016.34601)]) auf den Abelschen Funktionenkörper erklären: ein Multiplikator \(\mu\) ist ein gewisser Endomorphismus \(C\to \mu C\) der Massengruppe von \(K/\Omega\). Sind \(\mathfrak O\) und \(\mathfrak U\) rationale Punktgruppen, \(\mathfrak Y\) höchsttranszendent, so gibt es in \(\Lambda= \Omega(\mathfrak Y)\) mindestens eine Punktgruppe \(\mathfrak X\) mit \(\frac{\mathfrak X}{\mathfrak O}\sim \mu\frac{\mathfrak Y}{\mathfrak U}\). \(\mu\) heißt regulär, wenn \(\mathcal X\) ebenfalls höchsttranszendent ausfällt, \(\mathfrak X\) ist dann eindeutig durch \(\mathfrak Y, \mathfrak O,\mathfrak U\) bestimmt, die Darstellung \(\mathcal K = \Omega (\mathfrak X)\) des Abelschen Funktionenkörpers ist in der Darstellung \(\Lambda= \Omega(\mathfrak Y)\) enthalten, wodurch, wenn entsprechende Koordinaten von \(\mathfrak X\) und \(\mathfrak Y\) einander zugeordnet werden, ein Meromorphismus \(\mu_{\mathfrak O,\mathfrak U}\) von \(\Lambda/\Omega\) auf \(\mathcal K/\Omega\) bestimmt ist. \(\Lambda=\mathcal K_{\mu}\), der \(\mu\)- Teilungskörper von \(\mathcal K\), ist von endlichem Grade über \(\mathcal K\), dieser Grad heißt die Norm \(N(\mu)\) von \(\mu\), es gilt dann offenbar \(N(\mu_1\mu_2)= N (\mu_1) N(\mu_2)\), was auch für irreguläre \(\mu\) richtig bleibt, wenn für sie \(N(\mu) = 0\) gesetzt wird. Die analytische Theorie liefert im klassischen Fall, daß ein natürlicher Multiplikator \(n\), d. h. die Potenzierung der Klassen mit dem Exponenten \(n\), regulär mit der Norm \(n^{2g}\) ist. Für allgemeines \(\Omega\) ist dies nur im Fall \(g = 1\) bewiesen [\textit{H. Hasse}, Zur Theorie der abstrakten elliptischen Funktionenkörper I, II, III. J. Reine Angew. Math. 175, 55--62 (1936; Zbl 0014.14903); ibid., 69-88 (1936; Zbl 0014.24901); ibid., 193-208 (1936; Zbl 0014.24902);. Ref., J. Reine Angew. Math. 177, 161--191 (1937; Zbl 0016.34601)], für beliebiges 4g4 steht der Beweis noch aus. In \S 7 werden die algebraischen Punkte von \(\mathcal K\), das sind die Homomorphismen auf algebraische Erweiterungen von \(\Omega\), und die Primdivisoren, das sind Bewertungen von \(\mathcal K/\Omega\), untersucht. Es wird eine homogene Transzendenzbasis \(X_0,X_1,\dots,X_g\) zugrunde geegt. Ein Punkt heißt zu ihr gehörig, wenn \(X_0:X_1:\dots: X_g\) durch ihn auf ein bestimmtes Verhältnissystem abgebildet wird, ein Primdivisor, wenn die Reste der \(X_\nu\) nach ihm ein homogenes System vom Transzendenzgrad \(g^{-1}\) über \(\Omega\) bilden. Ist eine höchsttranszendente Punktgruppe \(\mathfrak X=\mathfrak x_1,\dots,\mathfrak x_g\) von \(K/\Omega\), also eine Darstellung \(\mathcal K = \Omega(\mathfrak X)\) des Abelschen Funktionenkörpers, gegeben, so entsprechen die algebraischen Punkte von \(\mathcal K/\Omega\), die zu den symmetrischen Grundfunktionen \(X_0,\dots,X_g\) der \(g\) Restpaare \(x_0(\mathfrak x_i), x_1(\mathfrak x_i)\) einer homogenen Transzendenzbasis \(x-0,x_1\) von \(K/\Omega\) gehören, umkehrbar eindeutig den algebraischen Punktgruppen \(\mathfrak P=\overline{\mathfrak p_1}\cdots\overline{\mathfrak p_g}\) von \(K/\Omega\): um zu dem zugehörigen Punkt von \(K\) zu gelangen, hat man im wesentlichen \(x_0(\mathfrak x_i), x_1(\mathfrak x_i)\) nach \(\overline{\mathfrak p}\) zu reduzieren, Permutationen der \(\overline{\mathfrak p_i}\) ändern wegen der Symmetrie von \(\mathcal K/\Omega\) nichts. Wesentlich ist, daß gerade die zu \(X_0,\dots, X_g\) gehörigen Punkte auf diese Weise herauskommen. Der \(\overline{\mathfrak P}\) zugeordnete Punkt werde mit \(\mathfrak X\to \overline{\mathfrak P}\) bezeichnet. An Primdivisoren werden nur folgende betrachtet: Jedem Divisor \(\mathfrak a\) von \(K\) entspricht im isomorphen \(K\varphi_i\), der durch \(z\to z\varphi_i=z(\mathfrak x_i)\) gegeben ist, ein Divisor \(\mathfrak a\varphi_i=\mathfrak a(\mathfrak x_i)\). Wird für einen Primdivisor \(\mathfrak p\) \(\mathfrak P(\mathfrak x_i)\) auf die Konstantenerweiterung \(K\varphi_i (K\varphi_1\dots K\varphi_{i-1}K\varphi_{i+1}\dots K\varphi_g)/(K\varphi_1\dots K\varphi_{i-1}K\varphi_{i+1}\dots K\varphi_g)\) übertragen, so sind die \(\mathfrak p(\mathfrak x_1),\dots \mathfrak p (\mathfrak x_g)\) ein volles System über \(\mathcal K/\Omega\) konjugierter Primdivisoren, sie bestimmen also alle den gleichen, mit \(\mathfrak p (\mathfrak X)\) bezeichneten Primdivisor von \(\mathcal K/\Omega\). Wesentlich ist nun der folgende, von van der Waerden mit algebraisch-geometrischen Methoden bewiesene Satz: Sind zwei Darstellungen \(\mathcal K= \Omega(\mathfrak X)\) und \(\mathcal K = \Omega(\mathfrak X')\) von \(\mathcal K\) gegeben und ist \(\frac{\mathfrak X}{\mathfrak O}\sim \frac{\mathfrak X'}{\mathfrak O'}\), mit rationalen \(\mathfrak O, \mathfrak O'\), also \(\mathfrak X\) in \(\mathfrak X'\) durch eine Translation überführbar, so folgt, wenn \(\frac{\overline{\mathfrak P}}{\mathfrak O}\sim \frac{\overline{\mathfrak P'}}{\mathfrak O'}\) mit regulärem \(\overline{\mathfrak P'}\) ist, daß der Punkt \(\mathfrak X'\to \overline{\mathfrak P'}\) mit dem Punkt \(\mathfrak X\to \overline{\mathfrak P}\) übereinstimmt und umgekehrt. Es sei nun \(\overline{A}\) eine algebraische Nullklasse von \(K/\Omega\) und \(X\) eine feste höchsttranszendente Nullklasse. \(\mathfrak O\) sei eine rationale Punktgruppe, \(\frac{\overline{\mathfrak P}}{\mathfrak O}\) in A, \(\frac{\mathfrak X}{\mathfrak O}\) in \(X\). Dann ist nach dem obigen der Punkt \(\mathfrak X\to {\overline{\mathfrak P}}\) unabhängig von \(\mathfrak O\) durch \(A\) bestimmt. Daher ist auf die Möglichkeit irregulärer \(\overline{\mathfrak P}\) zu achten, sie wird mittels des Hilfssatzes von \S 4 behandelt. Auf diese Weise sind den Nullklassen von \(K/\Omega\) umkehrbar eindeutig Punkte von \(\mathcal K/\Omega\) zugeordnet, und zwar rationalen Klassen rationale Punkte. In \S 8 wird die Zerlegung der Punkte von \(\mathcal K/\Omega\) im \(\mu\)-Teilungskörper \(\mathcal K\mu\) betrachtet, der Multiplikator \(\mu\) sei dabei regulär und separabel, d. h. \(\mathcal K\mu/\mathcal K\) sei separabei. Es sei \(\mathcal K =\Omega(\mathfrak X)\), \(\mathcal K\mu=\Omega(\mathfrak Y)\) und \(\frac{\mathfrak X}{\mathfrak O}\sim \mu\frac{\mathfrak Y}{\mathfrak U}\) mit rationalen \(\mathfrak O\), \(\mathfrak U\). Dann gilt entsprechend dem Satz in \S 7, und ebenfalls von van der Waerden bewiesen: Ist \(\frac{\overline{\mathfrak P}}{\mathfrak O}\sim \mu\frac{\overline{\mathfrak Q}}{\mathfrak U}\), \({\overline{\mathfrak Q}}\) regulär, dann ist einer der in \(\mathfrak X\to \overline{\mathfrak P}\) enthaltenen Punkte \((\mathfrak X\to \overline{\mathfrak P})_*\) von \(\mathcal K\mu\) gleich \(\mathfrak Y\to \overline{\mathfrak Q}\) und umgekehrt, entsprechend für reguläres \(\overline{\mathfrak P}\). Mit seiner Hilfe wird gezeigt: Jede Nullklasse \(\overline{D}\) ist in der Form \(\overline{D} = \mu \overline{D}_1\) darstellbar. Die Anzahl der Lösungen \(\overline{D_1}^*\) dieser Gleichung ist \(N(\mu)\). Und hieraus wird wie im Falle \(g =1\) geschlossen, daß \(\mathcal K_{\mu}\) über \(\mathcal K\) unverzweigt ist für das System der \(X\) Punkte von \(\mathcal K\mu/\Omega\), das mit dem der \(Y\)-Punkte zusammenfällt. Ist \(\mathfrak X\to\overline{\mathfrak P}\) ein Punkt von \(\mathcal K/\Omega\), so zerfällt er in alle die Punkte \(\mathfrak X\to\overline{\mathfrak Q}_i\) mit \(\frac{\overline{\mathfrak P}}{\mathfrak O}\sim \mu\frac{\overline{\mathfrak Q_i}}{\mathfrak U}\), es sind also die Klassen \(\overline{D}_i\) von \(\frac{\overline{\mathfrak Q_i}}{\mathfrak U}\) gerade die Lösungen von \(\mu\overline{D}_i=\overline{D}\), \(\overline{D}\) Klasse von \(\frac{\overline{\mathfrak P}}{\mathfrak O}\). In \S 9 wird die A. Weilsche Theorie der Distributionen für Funktionenkörper einer Unbestimmten neu entwickelt, wobei an Stelle von Idealen mit Divisoren gearbeitet wird.