Das Lucassche Ehepaarproblem (Q2647360)

Verf. behandelt das im Titel genannte Problem. Auf wie viele Arten können um einen Tisch mit \(2n\) Stühlen \(n\) Ehepaare Platz nehmen, so daß jeder Mann zwischen zwei Frauen, aber keiner neben seiner Ehefrau sitzt. Für die Zahl \(A_n\) der möglichen Anordnung der Männer, nachdem sich die Frauen unter Freilassung jedes zweiter Stuhles gesetzt haben, war bisher nur eine von M. Laisant herrührende Rekursionsformel bekannt. Verf. gibt die Formel: Ist \(h_n = n! \sum_{\nu=0}^n [(-1)^\nu/\nu!]\), so wird \[ A_n=2(-1)^n+n \sum_{\nu=0}^n\{(-1)^{\nu-1}h_{n-\nu}^2/[(\nu-1)!(n-\nu)!]\}. \] Hieraus folgt leicht \(\lim_{n\to\infty} A_n/n! = e^{-2}\), genauer \(A_n/n!=e^{-2}+O(1/n)\).