A note on the general summability of functions (Q2647583)

Sind \(f_j^\pm\) die durch \(f(y) = \sum_{j=0}^p f_j^\pm(x) (y - x)^j/j! + r_p(y,x)\) bei \(\lim_{y\to x_\mp} r_p(y,x)/(y - x)^p = 0\) definierten verallgemeinerten rechts- bzw. linksseitigen Ableitungen von \(f\), so zeigt Verf., daß (bei endlichen oder unendlichen Grenzen) \[ \int_a^b k(x, y, \lambda)f(y)\,dy = \tfrac12 \sum_{i=0}^p \lambda^{-i} \sum_{j=0}^{iq} a_{ij}(x) [f_j^+(x) + f_j^-(x)] + o(\lambda^{-p}) \] gilt unter folgenden Bedingungen: 1. die \(f_{pq}^\pm\) existieren, 2. \(\lim_{\mu \to b}\int_a^\mu\) bzw. \(\lim_{\mu \to a}\int_\mu^b \lambda^p k(x, y,\lambda) f(y) \,dy = 0\) gilt gleichmäßig in \(\lambda\), 3. es ist \( k(x, y, \lambda) \ge 0\) für \(\vert y-x\vert \le \varepsilon_0(x)\), 4. \(\lim_{\lambda\to\infty} \lambda^p k(x, y, \lambda) = 0\) gilt gleichmäßig in \(a<c\le y\le x - \varepsilon\) oder \(x+\varepsilon\le y\le d < b\), 5. es gibt eine \(pq\)-mal differenzierbare positive Funktion\(\varphi(y)\), bei welcher die \(\int_a^x\) bzw. \(\int_x^b k(x, y, \lambda) y^k \varphi(y) \,dy\) für \(k = 0, \ldots, pq\) obige asymptotische Entwicklung zulassen. Als einfachste spezielle Fälle ergeben sich ältere und neuere Grenzwertsätze für Integrale mit Fejérschen, Cauchyschen, Weierstraßschen, de la Vallée Poussinschen und sogar Titchmarshschen Kernen.