On right alternative algebras (Q2647899)

Eine Algebra heißt alternativ, wenn das Assoziativgesetz für alle Produkte mit zwei gleichen Faktoren erfüllt ist. Von den drei dies ausdrückenden Regeln \[ y\cdot xx = yx\cdot x,\quad xx\cdot y = x\cdot xy,\quad xy\cdot x = x\cdot yx \] folgt jede aus den beiden anderen. Algebren, für die nur \(xy\cdot x=x\cdot yx\) gefordert wird, heißen biegsam (flexible); Verf. hat für sie einige Eigenschaften in einer vorangehenden Arbeit hergeleitet [s. Zbl 0033.15402]. Hier untersucht er Algebren, für die nur \(y\cdot xx = yx\cdot x\) gefordert wird; er nennt sie rechts-alternativ. Dabei beschränkt er sich auf Koeffizientenkörper von 2 verschiedener Charakteristik. Er beweist folgende Tatsachen. Jede rechts-alternative Algebra \(A\) ist potenz-assoziativ. Ist \(e\) ein Idempotent aus \(A\), so gilt für den der Rechtsmultiplikation mit \(e\) entsprechenden linearen Operator \(R_e\) die Relation \(R_e^2 = R_e\). Für den der Linksmultiplikation mit \(e\) entsprechenden linearen Operator \(L_e\) gilt jedenfalls \(L_e^2 \ne 0\), \((L_e^2 - L_2)^2 = 0\); es gibt Fälle, in denen letzteres die Minimalgleichung für \(L_e\) ist, so daß \(A\) sicher nicht immer auch alternativ schlechthin ist. Hat \(A\) den Grad 2, so ist \(A\) alternativ. Allgemein wird \(A\) durch die neue Produktdefinition \(x\cdot y = \tfrac12(xy + yx)\) eine Jordansche Algebra \(A^{(\times)}\) (d.h. eine solche, in der als Assoziativregel nur \(x\cdot yx^2 = xy\cdot x^2\) gefordert wird) zugeordnet. Auch der lineare Raum \(R(A)\) der Rechtsmultiplikatoren \(R_x\) von \(A\) ist eine Jordansche Algebra, und \(x\to R_x\) ist ein Homomorphismus von \(A^{(\times)}\) auf \(R(A)\), dessen Kern das Ideal \(Z\) der \(z\) mit \(zA = 0\) ist; für die Restalgebra \(B = A - Z\) ist danach \(B^{(\times)}\) zu \(R(B)\) isomorph. Schließlich sei die Charakteristik sogar als 0 vorausgesetzt. Ist dann \(A^{(\times)}\) einfach, so ist \(A\) alternativ, und, falls der Grad größer als 2 ist, sogar assoziativ. Allgemein fällt das Radikal (maximale Nilideal) \(N\) von \(A\) mit dem von \(A^{(\times)}\) zusammen. Ist \(N = 0\), also \(A\) halbeinfach, so ist \(A\) alternativ. Ist \(A\) einfach, so ist \(A\) entweder assoziativ oder eine Cayleysche Algebra. Die einzigen nicht-assoziativen rechts-alternativen Divisionsalgebren sind danach die Cayleyschen Algebren.