Zur Approximation und Kettenbruchentwicklung quadratischer Zahlen (Q2647902)

Der erste Teil der Arbeit beschäftigt sich mit den Heronischen Näherungen für Quadratwurzeln \(\sqrt D\) \((D\ne 0\) komplex), definiert durch \(a_0 b_0 = D\), \(b_{n+1} = D/a_{n+1}\), \(a_{n+1} = \tfrac12(a_n + b_n)\) \((a_0\ne 0)\). Es wird gezeigt, daß die Folge konvergiert und zwar, bei passender Wahl des Vorzeichens, gegen \(\sqrt D\), wenn \(\mathfrak R(a_0/\sqrt D) \ne 0\). Eine Fehlerabschätzung wird gegeben und der Zusammenhang mit Produktformeln von \textit{A. Ostrowski} [Verh. Naturforsch. Ges. Basel 40, 153--214 (1929; JFM 55.0837.02)] und \textit{Engel} (vgl. \textit{O. Perron} [Irrationalzahlen. 2. Aufl. Berlin: Walter de Gruyter (1939; Zbl 0022.12306)]) hergestellt. Ist nun \(D\) aus einem Ring \(R\), so daß \(\sqrt D\) nicht im Quotientenkörper von \(R\) liegt \((R\) aus komplexen Zahlen bestehend), ist die Ungleichung \(\vert p_0^2 - Dq_0^2\vert\le 1\) in \(R\) lösbar mit \(\mathfrak R(p_0/q_0\sqrt D)> 0\), dann gibt es Folgen \(a_n = p_n/q_n\) \((p_n, q_n\) aus \(R)\), so daß für genügend großes \(n\) und für jedes \(\varepsilon > 0\) \[ \vert a_n - \sqrt D\vert < \frac{1+\varepsilon}{2\,\vert \sqrt D\vert\,\vert q_n\vert ^2} \] gilt, und zwar liefert das Heronische Verfahren eine solche Folge. Die Voraussetzungen sind erfüllt, wenn \(R\) eine Hauptordnung aus einem imaginär quadratischen Zahlkörper mit der Klassenzahl 1 ist. Es wird weiter untersucht, wann \(\varepsilon = 0\) zulässig ist, der Zusammenhang mit den Kettenbrüchen hergestellt und der Fall reeller quadratischer Irrationalzahlen näher diskutiert. Im weiteren untersucht Verf., wann ein regelmäßiger Kettenbruch eine ganze quadratische Zahl mit positiver Differente darstellt. Für die genauere Formulierung sei auf die Arbeit verwiesen. Es sei nur bemerkt, daß die Untersuchung eine Verallgemeinerung der Bestimmung der Quadratwurzeln natürlicher Zahlen darstellt, für welche die Kettenbruchperiode, abgesehen vom Schlußglied, vorgeschrieben ist [\textit{O. Perron}, Die Lehre von den Kettenbrüchen. Leipzig etc.: B. G. Teubner (1913; JFM 43.0283.04), \S 23; \textit{H. Dörrie}, Quadratische Gleichungen. München etc.: R. Oldenbourg (1943; Zbl 0028.33802)]. Den Abschluß bildet folgender interessanter Satz: Es sei \(D_h(n) = n^2 + h\) \((h, n\) ganz, \(\vert h\vert\) entweder \(3\) oder \(> 5)\). Dann ist es, wie groß auch die ganze Zahl \(n_0\) sein mag, nicht möglich, die Menge aller ganzen Zahlen \(n\ge n_0\) so in eine endliche Anzahl von Klassen \(K\) aufzuteilen, daß in jeder Klasse die Kettenbruchentwicklung \[ \sqrt {D_h(n)} = p_0(n),\overline{p_1(n), \ldots, p_k(n)}\qquad (n\ge n_0) \] besteht. Dabei sind die \(p(n)> 0\) Polynome, welche für jede ganze Zahl ganze Werte annehmen und ebenso wie \(k\) von \(K\) abhängen. Es werden noch weitere Sätze und Beispiele angegeben; so werden z. B. Zahlenfolgen aus quadratischen Körpern konstruiert, welche Zahlen mit beliebig langer Vorperiode enthalten.