Über eine Verallgemeinerung des Satzes von Mordell (Q2648024)

\textit{L. J. Mordell} [J. Lond. Math. Soc. 12, 34--36 (1937; Zbl 0015.39002)] fragte in Umkehrung des Minkowskischen Linearformensatzes: Gibt es eine Zahl \(k_n\) derart, daß jedes unimodulare System von linearen homogenen Ungleichungen \[ \left\vert \sum_i a_{ik} x_i\right\vert \le \lambda_i \] für mindestens ein System von Größen \(\lambda_i\) mit \(\prod \lambda_i = k_n\) in ganzen, nicht sämtlich verschwindenden Zahlen unlösbar wird? Er zeigte \(k_2 > \frac12\). \textit{H. Davenport} [Acta Arith. 2, 262--265 (1937; JFM 63.0922.01)] zeigte \[ k_n \ge (1\cdot 2^2\cdot 3^3 \cdots (n-1)^{n-1} \cdot n!)^{-1} \] Geometrisch: Es gibt eine Zahl \(k_n\), so, daß jedes zum Nullpunkt symmetrische Parallelepiped durch affine Ausdehnung in seinen Kantenrichtungen auf einen Inhalt \(k_n\) aufgebläht werden kann, ohne daß es dabei auf einen Gitterpunkt trifft. Verf. verallgemeinert diese Fragestellung auf beliebige konvexe Körper und zeigt: Es sei \(f(x)\) die Distanzfunktion eines konvexen Körpers und \(A\) eine Matrix mit \(\vert A\vert = 1\). Dann gibt es eine unimodulare, ganzzahlige Matrix \(U\), die von \(A\) nicht abhängt, und eine Diagonalmatrix \(D\), so daß, wenn \(T = U DU^{-1}\) gesetzt wird, der Körper \(f(TAx) \le t\) keine Gitterpunkte enthält, wenn sein Volumen \(V < 2^n(n!)^{- 4n^2-n-1}\) ist. Geometrisch besagt dies: Jeder konvexe Körper hat \glqq Hauptachsen\grqq{} im folgenden Sinn: In jedem Gitter kann man ihn durch geeignete affine Ausdehnungen in den Hauptachsenrichtungen bis zu einem Inhalt \(k_n\) aufblähen, ohne daß er dabei einen Gitterpunkt in oder an sich aufnimmt.