Note on cubic equations in three variables with an infinity of integer solutions (Q2648349)

Elementar-arithmetischer Beweis des Satzes: Die Gleichung \(z^3=ax^2+by^2+c\) mit ungeraden ganzen \(a,b,c\) und \((a,b)=1\) hat unendlich viele Lösungen \(x,y,z\), wenn \(c\not\equiv b^3\bmod 7\) und \(c\not\equiv a^3\bmod 7\) mit \(7\mid b\). Der Beweis beruht auf dem Lemma: Die Kongruenz \(y^2\equiv x^3 + k\bmod a\) mit ganzem \(k\) und ungeradem \(a\) ist lösbar; es gibt sogar eine Lösung mit \((y,a)=1\), außer wenn \(7\mid a\) und \(k\equiv -1\bmod 7\). Elementary-arithmetic proof of the theorem: The equation \(z^3=ax^2+by^2+c \) with odd integers \(a, b, c \) and \( (a, b) =1\) has infinitely many solutions \(x, y, z \), if \(c\not\equiv b^3\bmod 7\) and \(c\not\equiv a^3\bmod 7\) with \(7\mid b \). The proof is based on the lemma: The congruence \(y^2\equiv x^3 + k\bmod a \) with integer \(k\) and odd \(a \) is solvable; especially there is one solution with \((y, a) =1\), except when \(7\mid a \) and \(k\equiv-1\bmod 7\).