Bemerkungen zur Lösbarkeit der ersten Randwertaufgabe der Potentialtheorie auf allgemeinen Flächen (Q2648466)

Eine harmonische Funktion auf einer gegebenen Riemannschen Fläche \(F\) wird (abgesehen von trivialen Fällen) durch Uniformisierung in ein automorphes Potential im Einheitskreis \(\vert z\vert < 1\) verwandelt. Dies eröffnet grundsätzlich die Möglichkeit, die Konstruktion einer harmonischen Funktion auf \(F\) mit vorgegebenen Randwerten mit Hilfe des Poissonschen Integrals durchzuführen. Verf. bemerkt, daß einer solchen Methode noch wesentliche Schwierigkeiten im Wege stehen. Einmal muß die logarithmische Kapazität des Randes von \(F\) positiv sein, damit einem Radius in \(\vert z\vert < 1\) eine Kurve auf \(F\) entspricht, die gegen deren Rand konvergiert. Gibt man sich aber auf einer Fläche \(F\) mit positivem Rand bestimmte Randwerte vor, so ist die Meßbarkeit der entsprechenden Funktion \(f(e^{i\varphi})\) im allgemeinen nur sehr schwer zu entscheiden.