Congruences for the coefficients of hyperelliptic and related functions (Q2650279)

In einer früheren Arbeit [(I), Duke Math. J. 16, 297--302 (1949; Zbl 0038.17903)]] hatte Verf. für die Vorzahlen in der Potenzreihe der Jacobischen Funktion (J. F.) \(\mathrm{sin am} (x, \kappa^2)\) bei rationalem, mod \(p\) ganzartigem \(\kappa^2\) gewisse Kongruenzen nach Potenzen des ungeraden Primzahlmoduls \(p\) hergeleitet. Auf den hyperelliptischen Fall der etwa die Beziehung \[ g'^2(x) = 1 + A_1 g(x) + \ldots + A_6 g_6(x)\] mit mod \(p\) ganz-artigen \(A_j\) \((j = 1, \ldots, 6)\) erfüllenden Funktion \(g(x)\) läßt sich das Ergebnis zwar nicht unmittelbar, wohl aber bei einer gewissen Abwandlung des Verfahrens übertragen. Es umfaßt dann allgemeiner die Klasse \(\mathfrak K\) der Funktionen \(g(x) = \sum_1^\infty c_m x^m/m!\), deren Umkehrung die Gestalt \(h(x) = \sum_1^\infty e_m x^m/m\) hat, wo die \(c_m\), \(e_m\) ganzartig mod \(p\) sind und \(c_1 = e_1 = 1\) ist. \(\mathfrak K\) ist dieselbe Klasse, auf die Verf. [(II), Duke Math. J. 8, 689--700 (1941; Zbl 0063.00705)] den von Staudt-Clausenschen Satz verallgemeinern konnte. Der Befund ist freilich schwächer als bei (I), lautet nämlich \[ \sum_{i=1}^r (-1)^{r-i} \binom{r}{i} c_p^{r-i} c_{m-i/p-1}\equiv 0 \pmod {p^s}, \quad s=[\frac12(r+1)] \] \((s\) das größte Ganze \(\le (r+1)/2)\). Die Vorzahlen \(c_m^\lambda\) in der Reihe \(g^\lambda(x)= \sum_{m=k}^\infty c_m^{(k)} \frac{x^m}{m!}\) mit \(c_m^{(1)} = c_m\) genügen, wenn \(m \ge r \ge1\), \(kp+t>1\), der Kongruenz \[ \sum_{i=0}^r (-1)^{r-i} \binom{r}{i} c_p^{r-i} c_{m-i(p-1)} ^{(kp+t)} \equiv 0 \pmod {p^s},\] wo \(s = k\) für \(r < k\), \(s = [(r+k-1)/2]\) für \(r\ge k\). Für die Vorzahlen \(\beta_m\) der Entwicklung \(x/g(x)=\sum_0^\infty \beta_m x^m/m!\) mit \(\beta_0 = 1\) findet Verf., den Zusammenhang \(\beta_m = \sum_{h\le m}e_h-1c_m^{(h)}/ (h+1)\) ausnutzend \((m\ge 1)\), die Kongruenz \[ \beta^m(\beta^{p-1}-c_p)^r\equiv 0 \pmod {p^s},\quad s = [(r -1)/2],\ m\ge r\ge 1,\] in der nach Entwicklung der linken Seite \(\beta^k\) durch \(\beta_\lambda\) zu ersetzen ist. Eine weitere Kongruenz gibt er fur die Vorzahlen \(\beta_m^{(\lambda)}\) von \[ \left(\frac{x}{g(x)}\right)^\lambda = \sum_{m=0}^\infty \beta_m^{(\lambda)} \frac{x^m}{m!}\quad\text{mit } \beta_0^{(\lambda)} = 1,\ \beta_m^{(1)} = \beta.\] Am Schlusse wirft er die Frage auf, ob der Vervielfachungssatz der J. F. in der schwachen Form, in der er ihn a. a. 0. (I) verwandte, wenigstens im hyperelliptischen Falle gilt. Wenn dem so wäre, so ließe sich eine bestimmte, den Vorzahlen der Entwicklung einer J. F. zukommende Eigenschaft auf die \(\beta_m\) übertragen.