St. Leśniewski's protothetics (Q2652280)

Das System der Logik von Stanisław Leśniewski (1886--1939) liegt nur fragmentarisch vor, dazu in schwer lesbaren und zum Teil auch schwer erreichbaren Abhandlungen. Leśniewskis Manuskripte wurden 1944 in Warschau vernichtet. Die auch für den Nicht-Spezialisten lesbare Darstellung des Verf. stützt sich teilweise auf Vorlesungsnachschriften. Alle Resultate seien L. bereits bekannt gewesen, die Beweise stammen zum Teil vom Verf. Die vorliegende Abhandlung beschränkt sich auf die ,Protothetik', d. h. eine Aussagenlogik mit Quantoren. ,Ontologie' und ,Mereologie' sollen in weiteren Abhandlungen dargestellt werden. L. teilt die Ausdrücke der Logik ein in semantische Kategorien (s. K.), d. h. in Aussagen, Namen und Funktoren. Diese Theorie, die jedoch sprachliche Elemente, nicht Objekte systematisiert, ist einfacher als die verzweigte, aber reicher als die sog. einfache Typentheorie Russells. Die s. K. der Protothetik (P.) umfaßt Aussagen und aussagenerzeugende Funktoren. (Verf. erwähnt nicht die Funktoren erzeugenden Funktoren, die L. auch in der P. benutzt, wie auch Verf. S. 66 in D 1, wo \(\Phi <q>\) in \(\Phi <q> (p)\) ein Funktor sein soil und offenbar auch \(\Phi\) ein Funktor ist.) Die Funktoren werden nach Ordnungen unterschieden: 1. Ordnung: alle Argumente sind Aussagen; \(n\)-te Ordnung: wenigstens ein Argument ist ein Funktor von der (höchstens) \((n-1)\)-ten-Ordnung. Quantoren und Klammern hat L. keiner s. K. zugeordnet (was Verf. leider nicht welter diskutiert). Thesen der P. können enthalten: (1) Konstante und Variable, die zur s. K. der Ausdrücke der P. gehören; (2) Quantoren, (d. h. den Allquantor), die solche Variablen binden; (3) Klammern. Verf. behandelt drei Systeme \(S\), \(S_1\), \(S_2\) der P. Systeme der elementaren P. können sich unterscheiden hinsichtlich der Grundterme, der Schlußregeln oder der Axiome. \(S\) und \(S_1\) haben die Implikation als einzigen Grundterm, \(S_2\) die Äquivalenz. \(S\) und \(S_1\) lassen sich auf folgendem Axiom aufbauen (Kap. 9): \[ [f,g] \{f([p]\{p \supset p\}) \supset (f([p]\{p\}) \supset f(q))\}\}.\tag{A\,1} \] In \(S\) gilt die Verifikationsregel: eine Aussage \(\alpha\) der P. ist eine These von \(S\), wenn jede Aussage, die aus \(\alpha\) durch die Ersetzung einer freien, einen Funktor repräsentierenden Variablen durch die Verifikatoren dieser Variablen hervorgeht, eine These von \(S\) ist. Der Begriff des Verifikators wird induktiv eingeführt. (Kap. 10). Dieses etwas umständliche Vorgehen läßt sich durch den Übergang zu dem äquivalenten (Kap. 12) System \(S_1\) ersparen. In \(S_1\) gilt die Extensionalitätsregel, nach welcher der für einen gegebenen einstelligen Funktor von wenigstens der 2. Ordnung formulierte Extensionalitätssatz \(([f, p, q] \{(p=q) \supset (f(p), f(q))\}\), Kap. 6) eine These von \(S_1\) ist. Ferner gelten in \(S\) und \(S_1\): die Abtrennungsregel, die Einsetzungsregel, die Regel der vorderen und der hinteren Generalisierung sowie die -- leider nicht ausführlich diskutierte --Regel für die Hinzunahme von Definitionen (Kap. 5). Diese Regeln erstrecken sich auch auf Ausdrücke aus s. K., die nicht in den Axiomen auftreten (Kap. 7). \(S\) und \(S_1\) sind vollständig (Kap. 13). \(S_2\) hat als Axiome: \[ [p,q,r] \{(p\equiv q) \equiv ((r\equiv q) \equiv (p \equiv r)) \}, \tag{A1} \] \[ [p,q] \{(p\equiv q) \equiv [f(p)] \{f(p) \equiv f(q)\}\}, \tag{A2} \] \[ [p,q] \{(p\equiv q) \equiv [f] \{(f(p)\equiv (f(q)) \equiv (p \equiv q)\}\}, \tag{A3} \] \[ [f] \{f([p]\{p\}) \equiv (f([p]\{p\} \equiv [p]\{p\}) \equiv [q]\{f([p]\{p\}\equiv f(q)\} ) \}; \tag{A4} \] und es gelten: (1) die Einsetzungsregel, (2) die Abtrennungsregel für Äquivalenzen, (3) die Distributivregel für den Allquantor, (4) die Extensionalitätsregel, (5) die Definitionsregel, nach der jede korrekte Definition eine These von \(S_2\) ist. \(S_2\) ist vollständig (Kap. 14). Die P. stellt eine Verallgemeinerung des Aussagenkalküls (mit Implikation und Negation) dar. Verf. läßt \(S\) und \(S_1\) schrittweise aus diesem hervorgehen. Da die Definitionen in der P. Thesen sind, erfüllen sie nicht die Bedingung, nicht schöpferisch zu sein (wohl aber die der Übersetzbarkeit, s. Kap. 13, Lemma 3). Da sie Äquivalenzen darstellen, lassen sie sich in \(S_2\) mit dem Grundterm so formulieren, wie dies auch in der Mathematik üblich ist für Definitionen, die Theoreme sind. Darauf beruht das besondere Interesse L.s an \(S_2\). Errata: S. 46, Anm. 4 fehlt wenigstens die erste Zeile. S. 53 Z. 2: statt ,a secondary rule of \(S\)' lies ,a primary rule of \(S_2\)'. S. 57 Z. 17: statt ,in the theorem' lies ,in the axiom'. S. 83 Z. 12: statt ,non-uniform' lies ,equiform'. S. 97 Z. 2-3: statt ,Theorem 3, Chap. 11' lies ,Theorem 3, Chap. 12'.