Beitrag zur Theorie der regelmäßigen Kettenbrüche (Q2653580)

Verf. führt für einen geordneten Komplex der Größen oder Symbole \(a_1 a_2\cdots a_m\) die Bezeichnung \(A = a_1 a_2\cdots a_m\) ein. Analog wird gesetzt: \(a_1 a_2 \cdots a_m b_1 b_2 \cdots b_m = AB\). Es gilt auch das assoziative Gesetz \(\{AB\} C = A \{BC\}\), jedoch nicht das kommutative Gesetz. Es werden ferner für den (hier interessierenden) Fall, daß die \(a_i\) natürliche Zahlen sind, 3 Operationen definiert: 1. Die Inversion: \(A = a_m a_{m-1} \cdots a_3 a_2 a_1\), 2. Weglassen der ersten oder der letzten Glieder: \[ 'A = a_2 a_3 \cdots a_m,\quad A' = a_2\cdots a_{m-1}, \] \[ ^{(k)}A = a_{k+1} a_{k+2} \cdots a_m,\quad A^{(k)} = a_1 a_2 \cdots a_{m-k}, k\le m, \] 3. Änderung der geraden Gliederzahl in die ungerade und umgekehrt: \[ ^*A = (1 + a_2) a_3 \cdots a_m\text{ für }a_1 = 1 \text{ bzw. } ^*A = 1 (a_1 - 1) a_2 a_3\cdots a_m \text{ für }a_1 \ge 2. \] Analog für \(A^*\). \(A = (a_1 a_2 a_3 \cdots) = a_1 + \underline{1}\vert \overline{a_2} + \underline{1}\vert \overline{a_3} + \cdots\) möge einen regelmäßigen Kettenbruch darstellen, der sich symbolisch nach Euler in der Form \[(a_1 a_2 \cdots a_m) [a_1 a_2 \cdots a_m] / [a_2 a_3 \cdots a_m]\quad\text{ oder }(A) = [A] / ['A]\] schreiben läßt, wenn \([A] = [a_1 a_2 \cdots a_m]\) gesetzt wird. Mit den für diese neuen Symbole geltenden Regeln beweist Verf. ziemlich kurz eine Reihe von Formeln, die in den \S\S 5, 6, 9 und 11 von Perrons \glqq Die Lehre von den Kettenbrüchen\grqq [\textit{O. Perron}, Stuttgart: B. G. Teubner (1954; Zbl 0056.05901)] abgeleitet wurden. Ferner gestattet ihm diese Symbolik die übersichtliche Formulierung des in IV bewiesenen Satzes 1, der enthält, wie aus dem Kettenbruch einer quadratischen Irrationalzahl unmittelbar der Kettenbruch der zu ihr konjugierten bestimmt werden kann und umgekehrt. Dieser Satz 1 läßt noch einige Erweiterungen und Ergänzungen zu, die ebenfalls in IV gebracht werden. In V wird die neu eingeführte Symbolik auf kulminierende und fastkulminierende Perioden angewandt und dabei ein kurzer Beweis von Ergebnissen gegeben, die \textit{R. Steuerwald} [Math. Z. 52, 686--697 (1950; Zbl 0037.03101)] gefunden hat. Der erwähnte Beweis umfaßt allerdings nicht alle Ergebnisse von Steuerwald.