Łukasiewicz's logics and prime numbers. (Q2703828)

Eine \(n+1\)-wertige Łukasiewicz-Logik ist eine Logik mit den Wahrheitswerten \(\{0,{1\over n},\dots, {n-1\over n},1\}\). Grundoperationen sind \(\sim x=1-x\) und \(x\to y=\min (1,1-x+y)\). Die Menge aller Funktionen, die mittels Substitution durch diese Operationen ausdrückbar sind, wird mit Ł\(_{n +1}\) bezeichnet. Für \(n\geq 2\) ist Ł\(_{n+1}\) eine echte Teilmenge der Menge aller Funktionen in die Menge der Wahrheitswerte. Nämlich es gilt Ł\(_{n+1} \subseteq T_{n+1}\), wo \(T_{n+1}\) die Menge der \(\{0,1\}\)-bewahrenden Funktionen ist. Ł\(_{n+1}=T_{n+1}\) genau dann, wenn \(n\) eine Primzahl ist. Genau in diesem Fall ist Ł\(_{n+1}\) eine prävollständige Menge, d.h. für jedes \(f\notin \text{Ł}_{n+1}\) kann man aus Ł\(_{n+1} \cup\{f\}\) durch Substitution alle Funktionen bekommen.NEWLINENEWLINENEWLINEWeiter werden einige Modifikationen von \(\to\) eingeführt, die durch \(\to^k,\to^{k'}\) und \(\to^s\) bezeichnet werden. Die Funktionenmengen, die man \(\{\sim,\to^k\}\), \(\{\sim, \to^{k'}\}\) und \(\{\to^s \}\) durch Substitution bekommen kann, werden mit \(K_{n+1}\), \(K_{n+1}'\) bzw. \(S_{n+1}\) bezeichnet. Für jedes \(n\geq 3\) sind alle diese Funktionenmengen mit Ł\(_{n+1}\) genau dann identisch, wenn \(n\) eine Primzahl ist, anderenfalls sind alle diese Funktionenmengen verschieden. Darauf basierend konstruiert der Autor einen Generierungsprozess für Primzahlen.NEWLINENEWLINENEWLINEMit weiteren Modifikationen \(\to^F, \to^e\) und \(\to^o\) von \(\to\) erhält man aus \(\{\sim,\to^F\}\), \(\{\sim, \to^e\}\) und \(\{\sim, \to^o\}\) durch Substitution solche Funktionenmengen, die genau dann mit Ł\(_{n+1}\) zusammenfallen, wenn \(n\) bzw. eine Potenz von Primzahlen (für \(n\geq 3)\) eine gerade bzw. ungerade Zahl (für \(n\geq 2)\) ist.NEWLINENEWLINENEWLINEIm Zusatzteil betrachtet Verf. die Logik Ł\(_\infty\) mit den oben genannten Operationen \(\sim\) und \(\to\), wobei die Wahrheitswerte alle rationalen oder reellen Zahlen in \([0,1]\) sind. Außerdem wird die diskrete Logik Ł\(_\Sigma\) betrachtet, bei der die Wahrheitswerte in der vergrößernden Ordnung \(\{0^+, 1, 2,3,\dots,-3,-2, -1,0^-\}\) und die Grundoperationen \(\sim^\Sigma x=-x\) sind, wobei \(-0^+=0^-\) und \(-0^-=0^+\). NEWLINE\[NEWLINEx\to^\Sigma y=\begin{cases} 0^-,\quad & \text{wenn }x\leq y,\text{ (in der obigen Ordnung)}\\ y-x,\quad & \text{wenn } x>y, \text{ wobei }y-0^-=y.\end{cases}NEWLINE\]NEWLINE In Ł\(_\Sigma\) gibt es mehr tautologische Formeln als in Ł\(_\infty\), aber alle anderen Erweiterungen von Ł\(_\Sigma\) sind endlichwertige Logiken.