The Abelianization of almost free groups (Q2706597)

Es wird eine Gruppe \(G\) der Mächtigkeit \(\aleph_1\) konstruiert, die nicht frei ist, aber deren abzählbare Untergruppen alle frei sind derart, dass auch die Kommutator-Faktorgruppe \(G/G'\) frei-abelsch ist. Dabei ist \(G'=[G,G]\) die Kommutator-Untergruppe von \(G\). Die Konstruktion beginnt mit einer freien Gruppe \(A\), die etwa von \(\{a_n; 1\leq n\in\mathbb{N}\}\) frei erzeugt sei, und der Untergruppe \(B\), die von allen Elementen der Form \(a^{-1}_n[a_{n+1},a_{n+1}]\) (für \(1\leq n\in\mathbb{N}\)) erzeugt ist. Es wird gezeigt, dass \(B\) kein freier Faktor von \(A\) ist, dass aber jeder endlich-erzeugte freie Faktor von \(B\) auch ein freier Faktor von \(A\) ist. Es gilt ferner \(B\cap[A,A]=[B,B]\). Setze \(G_0=B\) und \(G_1=A\). Wenn \(G_{\alpha+1}\) definiert ist, dann sei \(G_{\alpha+2}=G_{\alpha+1}*Z\) (freies Produkt von \(G_{\alpha+1}\) mit einer unendlichen zyklischen Gruppe). Wenn \(\lambda\) eine Limes-Ordinalzahl ist, dann sei \(G_\lambda\) die Vereinigung aller Gruppen \(G_\alpha\) für \(\alpha\in\lambda\), und erweitere \(G_\lambda\) zu \(G_{\lambda+1}\) so, dass ein Isomorphismus von \(G_{\lambda+1}\) auf \(A\) existiert, der \(G_\lambda\) auf \(B\) abbildet. Schließlich ist \(G\) die Vereinigung der sämtlichen Gruppen \(G_\alpha\) für \(\alpha\in\omega_1\). Dann ist \(G\) keine freie Gruppe, denn andernfalls hätte \(G\) ein freies Erzeugendensystem \(\{b_\alpha; \alpha\in\omega_1\}\) und \(G\) wäre die Vereinigung der aufsteigenden Kette der freien Faktoren \(K_\alpha=\langle b_\delta; \delta\in\alpha\rangle\), und es müßte eine abgeschlossene konfinale Menge \(C\) von Limesordinalzahlen \(\lambda\) geben für die \(K_\lambda=G_\lambda\) gilt. Aber dann wäre \(G_\lambda\) (\(\cong B\)) ein freier Faktor von \(G_{\lambda+1}\) (\(\cong A\)), ein Widerspruch!NEWLINENEWLINENEWLINEEs ist bis heute noch ungelöst, ob das oben genannte Resultat auf der Basis der üblichen mengentheoretischen Axiome (mit Auswahlaxiom, aber ohne zusätzliche Axiome) auf höhere Kardinalzahlen ausgedehnt werden kann.