A note on Hilbert modular threefolds (Q2707565)

Der kompaktifizierte Quotientenraum \(Y_K\) des Produkts von \(n\) oberen Halbebenen nach der Hilbertschen Modulgruppe eines total-reellen algebraischen Zahlkörpers \(K\) vom Grad \(n\) über \(\mathbb{Q}\) ist im Fall \(n=2\) genau dann rational, wenn das geometrische Geschlecht \(p_g=0\) ist. Für \(n=3\) fand \textit{H. G. Grundman} [Math. Ann. 300, 77--88 (1994; Zbl 0807.11026)] drei total-reelle nicht-galoissche kubische Zahlkörper, für die \(p_g=0\) aber \(Y_k\) nicht rational ist. Der Autor untersucht nun den desingularisierten kompaktifizierten Quotientenraum \(X_0({\mathfrak n})\) der Kongruenzuntergruppe \(\Gamma_0({\mathfrak n})\) der Hilbertschen Modulgruppe \(\Gamma\) eines galoisschen total-reellen kubischen Zahlkörpers \(K\) zu einem ganzen Ideal \({\mathfrak n}\), das nicht die Hauptordnung ist. Für \(d_k\geq 13^2\) bestimmt er \(p_g\) mit der Formel von \textit{H. Saito} [J. Math. Kyoto Univ. 24, 285--303 (1984; Zbl 0547.10027)]. Mit Hilfe der Formel von \textit{E. Thomas} für den Defekt einer Spitze [Math. Ann. 264, 397--411 (1983; Zbl 0511.14001)] gewinnt der Verfasser sein Hauptresultat, daß alle \(X_0({\mathfrak n})\) mit \(p_g\leq 1\) vom allgemeinen Typ sind, insbesondere, daß es sowohl für \(p_g=0\) als auch für \(p_g=1\) Quotientenräume vom allgemeinen Typ gibt.NEWLINENEWLINEFor the entire collection see [Zbl 0932.00040].