Inverse Galois problem for dihedral groups (Q2707566)

\(G\) sei eine endliche Gruppe. Für einen Körper \(K\) der Charakteristik \(0\) wird ein Polynom \(F(X,T_1,\dots, T_s)\) mit Koeffizienten in \(K\) ein \(G\)-generisches Polynom über \(K\) genannt, fallsNEWLINENEWLINENEWLINE1) die Galoisgruppe des Zerfällungskörpers von dem Polynom \(F(X,T_1,\dots, T_s)\) über dem Funktionenkörper \(K(T_1,\dots, T_s)\) zu \(G\) isomorph ist, undNEWLINENEWLINENEWLINE2) jede normale Erweiterung von \(K\) mit \(G\) als Galoisgruppe des Zerfällungskörpers über \(K\) eines Polynoms \(F(X,k_1,\dots, k_s)\) für geeignete Elemente \(k_1\), \dots, \(k_s\) aus \(K\) ist.NEWLINENEWLINENEWLINEEs ist bekannt, daß ein \(G\)-generisches Polynom über jedem Körper \(K\) der Charaktristik \(0\) existiert, falls \(G\) entweder zyklisch der Ordnung \(n\) oder eine Diedergruppe der Ordnung \(2n\) mit ungeradem \(n\), ist [siehe \textit{D. J. Saltman}, Adv. Math. 43, 250-283 (1982; Zbl 0484.12004)]. Die Verff. geben einfache \textit{explizite} generische Polynome für die obigen Gruppen an, falls \(K\) den maximalen reellen Teilkörper des \(n\)-ten Kreiskörpers enthält .NEWLINENEWLINEFor the entire collection see [Zbl 0932.00040].