Arithmetical properties of the values of some power series with algebraic coefficients taken for \(U_m\)-numbers arguments (Q2708394)

Die vorliegende Arbeit ist eine englische Kurzversion der Dissertation (1996) des Verf. Mit \(U_m\) (vom ``Grad'' \(m = 1,2,\ldots\)) seien die paarweise disjunkten und nach \textit{W. J. LeVeque} [J. Lond. Math. Soc. 28, 220-229 (1953; Zbl 0053.36203)] nicht leeren Unterklassen im Sinne der Mahlerschen Klassifikation bezeichnet. Damit lautet ein typisches Resultat des Verf. wie folgt. NEWLINENEWLINENEWLINESei \((\ast)\): \(\sum_{n\geq 0}(b_{k_n}/a_{k_n})x^{k_n}\) mit strengwachsender Folge \((k_n)\) eine Potenzreihe mit ganzen \(b_{k_n} \not= 0\) aus einem festen algebraischen Zahlkörper \(L\), und mit \(a_{k_n}\in{\mathbb{N}}\), die für alle großen \(n\) von Eins verschieden seien. Es gelte NEWLINE\[NEWLINEk_n+\log a_{k_{n-1}}= o(\log a_{k_n}) \quad \text{und}\quad \limsup(\log H(b_k))/(\log a_{k_n})< 1,NEWLINE\]NEWLINE beides bei \(n\to\infty\), wobei \(H(b)\) die ``klassische'' Höhe von \(b\) bedeutet. NEWLINENEWLINENEWLINESei \(\xi\) eine \(U_m\)-Zahl mit den folgenden Eigenschaften: NEWLINENEWLINENEWLINE(1) Es gibt eine Folge \((\alpha_n)\in K^{\mathbb{N}}\), die \(|\xi-\alpha_n|<H(\alpha_n)^{-n\omega(n)}\) für alle großen \(n\) genügt, wobei \(\omega(n) \to \infty\) bei \(n\to\infty\) gilt und \(K\) ein fester algebraischer Zahlkörper mit \([K:{\mathbb{Q}}] = m\) ist. NEWLINENEWLINENEWLINE(2) Es gibt \(c_1,c_2\in{\mathbb{R}}\) mit \(1 < c_1 \leq c_2\) derart, daß \(c_1\leq (k_n\log H(\alpha_n))/(\log a_{k_n})\leq c_2\) gilt. Unter all diesen Voraussetzungen definiert \((\ast)\) eine ganze Funktion \(f(x)\) und weiter liegt \(f(\xi)\) entweder in \(M\), dem kleinsten \(K\) und \(L\) umfassenden algebraischen Zahlkörper, oder es ist eine \(U\)-Zahl eines Grades \(\leq[M:{\mathbb{Q}}]\). NEWLINENEWLINENEWLINEDer Fall \(L = {\mathbb{Q}}\) wird vorab ebenso ausführlich behandelt wie danach \(p\)-adische Analoga. Im Fall \(k_n = n\), \(m = 1\) gewinnt Verf. frühere Ergebnisse von \textit{M. H. Oryan} [Rev. Fac. Sci. Univ. Istanbul, Sér. A 47 (1990), 15-34, bzw. 53-67 (1986; Zbl 0706.11036 bzw. Zbl 0706.11037)] zurück.