The Hilbertian process associated to the convolution product of two random measures (Q2711899)

Par \(H\) on désigne un espace de Hilbert complexe et séparable, par \(G\) on désigne un group abélien localement compact dont le dual \(\widehat G\) est supposé à base dénombrable, et par \(Z_i\), \(i=1,2\), on désigne une mesure aléatoire définie sur la tribu borélienne \({\mathcal B}_{\widehat G}\) à valeurs dans \(H\). On note \(H_{Z_i}= \overline{\text{vect}}\{Z_i(A): A\in{\mathcal B}_{\widehat G}\}\), \(i= 1,2\), et on note \(\sigma_2(H_{Z_1}, H_{Z_2})\) l'espace des opérateurs de Hilbert-Schmidt de \(H_{Z_1}\) dans \(H_{Z_2}\). Alors on affirme qu'il existe une mesure aléatoire et une seule notée \(Z_1\otimes Z_2\), appelée produit tensoriel de \(Z_1\) et \(Z_2\), définie sur \({\mathcal B}_{\widehat G}\otimes{\mathcal B}_{\widehat G}\) à valeurs dans \(\sigma_2(H_{Z_1}, H_{Z_2})\) telle que \(Z_1\otimes Z_2(A\times B)= Z_1(A)\otimes Z_2(B)\), \(A,B\in{\mathcal B}_{\widehat G}\). Enfin, si on note \(S_{\widehat G}\) l'application qui, à un couple \((\gamma_1,\gamma_2)\in\widehat G\times\widehat G\) associe \(\gamma_1+ \gamma_2\in\widehat G\), alors l'image \((Z_1\otimes Z_2)\circ S^{-1}_{\widehat G}\), notée \(Z_1* Z_2\), est appellée naturellement produit de convolution de \(Z_1\) et \(Z_2\).