On a problem of Mahler concerning the approximation of exponentials and logarithms (Q2714278)

Seien \(\lambda_1,\ldots,\lambda_m\in{\mathbb{C}}\) so, daß \(\alpha_i := e^{\lambda_i}\in \overline{\mathbb{Q}}\) für \(i = 1,\ldots,m\) gilt; seien \(\beta_0,\ldots,\beta_m\in\overline{\mathbb{Q}}\) und \(D := [{\mathbb{Q}}(\alpha_1,\ldots,\alpha_m, \beta_0,\ldots,\beta_m):{\mathbb{Q}}]\). Bezeichnet \(h(\gamma)\) die absolute logarithmische Höhe von \(\gamma\in\overline{\mathbb{Q}}\), so sei \(h\in{\mathbb{R}}_+\) nicht kleiner als \((1/D)\max(1,|\lambda_1|,\ldots,|\lambda_m|)\) bzw. als alle \(h(\alpha_i)\) und alle \(h(\beta_j)\). Dann vermutet Verf., daß es absolute Konstanten \(c_1,c_2\in{\mathbb{R}}_+\) gibt mit folgenden Eigenschaften. NEWLINENEWLINENEWLINE(1) (\(\Lambda := \beta_0+\sum_{i=1}^m \beta_i\lambda_i\not= 0\) impliziert \(|\Lambda|\geq \exp(-c_1mD^2h)\).NEWLINENEWLINENEWLINE(2) Falls \(\lambda_1,\ldots,\lambda_m\) über \({\mathbb{Q}}\) linear unabhängig sind, gilt \(\sum_{i=1}^m|\lambda_i-\beta_i|\geq \exp(-c_2mD^{(m+1)/m}h)\). NEWLINENEWLINENEWLINENach ausführlicher Diskussion der beiden Vermutungen beweist Verf. zwei partielle Resultate in Richtung auf Vermutung (2). Um diese bequem formulieren zu können, sei folgende Definition vorangestellt: \((\lambda_{i,j})\in \text{Mat}_{m\times n}({\mathbb{C}})\) genügt der linearen Unabhängigkeits-Bedingung (kurz: LUB), wenn \(\sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n t_i s_j\lambda_{ij} \not= 0\) für jedes nichttriviale \((t_1,\ldots,t_m)\in {\mathbb{Z}}^m\) und jedes nichttriviale \((s_1,\ldots,s_n)\in{\mathbb{Z}}^n\) gilt. Damit hat man Satz 1, eine Variante von Theorem 10.1 aus \textit{D. Roy} und Verf. [Ramanujan J. 1, 379-430 (1997; Zbl 0916.11042)]: NEWLINENEWLINENEWLINEMit \(m,n,r\in{\mathbb{N}}\) sei \(\theta := r(m+n)/mn\). Dann gibt es ein \(c_1\in{\mathbb{R}}_+\) mit folgender Eigenschaft: Hat \((\beta_{ij})\in \text{Mat}_{m\times n} (K)\) einen Rang \(\leq r\), wobei \(K\) ein algebraischer Zahlkörper ist, und ist \(L := (\lambda_{ij})\in \text{Mat} _{m\times n}({\mathbb{C}})\) so, daß alle \(\alpha_{ij} := \exp(\lambda_{ij})\in K ^\times\) sind und daß \(L\) der LUB genügt, so gilt NEWLINE\[NEWLINE\sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n|\lambda_{ij}-\beta_{ij}|\geq \exp(-c_1\varphi)NEWLINE\]NEWLINE mit \(\varphi := Dh_1(Dh_2)^\theta\) bei \(Dh_1 \geq (Dh_2)^{1-\theta}\) bzw. \(\varphi := (Dh_1)^{1/(1-\theta)}\) bei \(Dh_1 \leq (Dh_2)^{1-\theta}\). Dabei ist \(D := [K:{\mathbb{Q}}]\) und die \(h_1,h_2\in{\mathbb{R}}_+\) genügen den Ungleichungen \(h_1 \geq\) alle \(h(\alpha_{ij}), \;Dh_1 \geq\) alle \(|\lambda_{ij}|\), \(Dh_1 \geq 1\); \(h_2 \geq\) alle \(h(\beta_{ij})\), \(h_2 \geq \log(Dh_1)\), \(h_2 \geq \log D\), \(h_2 \geq 1\). NEWLINENEWLINENEWLINESatz 2: Sind \(m,n,r,K,D\) wie in Satz 2, aber \(\theta < 1\), so gibt es ein \(c_2\in{\mathbb{R}}_+\) mit folgender Eigenschaft. Sind alle Elemente von \(L = (\lambda_{ij})\in \text{Mat}_{m\times n}({\mathbb{C}})\) Logarithmen algebraischer Zahlen, genügt \(L\) der LUB und liegen alle \(\alpha_{ij} := \exp(\lambda_{ij})\) in \(K\), so gilt für jedes \((x_{ij})\in \text{Mat}_{m\times n}({\mathbb{C}})\) vom Rang \(\leq r\) die Ungleichung NEWLINE\[NEWLINE\sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n|\lambda_{ij}-x_{ij}|\geq \exp(-c_2(Dh)^{1/(1-\theta)}).NEWLINE\]NEWLINE Dabei ist \(h \geq\) alle \(h(\alpha_{ij})\) und \(Dh\) ist \(\geq 1\) und \(\geq\) alle \(|\lambda_{ij}|\).