On the asymptotic formula for Goldbach numbers in short intervals (Q2714370)

Eine gerade natürliche Zahl \(>2\), die als Summe zweier Primzahlen darstellbar ist, heißt eine Goldbach-Zahl. Es sei \(N\in\mathbb N\) genügend groß und \(L=\log N\) sowie NEWLINE\[NEWLINE R(k):=\sum_{N<m\leq 2N} \sum_{\substack{ N<\ell\leq 2N\\ m+\ell=k}} \Lambda(\ell) \Lambda (m)NEWLINE\]NEWLINE die gewichtete Anzahlfunktion der Goldbach-Zahlen; NEWLINE\[NEWLINE \gamma(k):=\begin{cases} 2\prod\limits_{p>k}\left(1-\dfrac 1{(p-1)^2}\right) \prod\limits_{\substack{ p\mid k\\ p>2 }} \left(\dfrac{p-1}{p-2}\right) & \text{für \(k\) gerade} \\ 0 & \text{für \(k\) ungerade}\end{cases} NEWLINE\]NEWLINE und NEWLINE\[NEWLINE m(k)=\sum_{N<m\leq 2N} \sum_{\substack{ N<\ell\leq 2N\\ m+\ell=k}} 1.NEWLINE\]NEWLINE Das Hauptergebnis dieser Arbeit ist die folgende asymptotische Aussage:NEWLINENEWLINENEWLINESeien \(D,\varepsilon>0\) beliebige Konstanten und \(L^D\leq H\leq N^{\frac 16 +\varepsilon}\). NEWLINENEWLINENEWLINEDann gilt für \(N\to \infty\) NEWLINE\[NEWLINE\sum_{k\in [n,n+H)} R(k)\sim \sum_{k\in[n,n+H)} m(k)\gamma(k)\quad\text{für alle}\quad n\in \left(\frac 52 N,\;\frac 72 N\right)NEWLINE\]NEWLINE mit \(O(NL^{42+\varepsilon}H^{-2})\) Ausnahmen.