Analysis. Foundations of differential and integral calculus for engineers, computer scientists and economists (Q2715726)

Wie aus dem Vorwort und dem Klappentext hervorgeht, vermittelt dieses Buch Grundlagen der Differential- und Integralrechnung für Ingenieure, Informatiker und Wirtschaftler. Es wurde vor allem für Studienanfänger (sowohl an Fachhochschulen als auch an Universitäten) geschrieben, die ihr mathematisches Wissen als Vorbereitung auf Studium und Prüfungen auffrischen und ergänzen wollen. Folglich ist dieses Buch kein mathematisches Lehrbuch im engeren Sinne, sondern im wesentlichen eine Formelsammlung mit einigen erklärenden Texten und Übungsaufgaben. Der übliche Analysis-Anteil einer Grundvorlesung in Höherer Mathematik wird weitgehend abgedeckt. Die einzelnen Kapitel behandeln die Themen 1. Funktionen, 2. Grenzwerte, 3. Grundlagen der Differentialrechnung, 4. Einführung in die Integralrechnung, 5. Unendliche Reihen, 6. Differentialgleichungen. NEWLINENEWLINENEWLINEEs ist klar, daß man von einem Buch mit dieser Zielsetzung nicht unbedingt mathematisch strenge Beweise verlangen kann; andererseits sollten aber die mathematischen Begriffe präzise durch Definitionen und die mathematischen Aussagen präzise in Sätzen formuliert werden. Dies ist in dem vorliegenden Buch nicht der Fall, stattdessen wird hier fast alles über die anschauliche Vorstellung und über Beispiele erklärt. Dadurch kommt es (wie eigentlich unvermeidlich bei dieser Art der Darstellung) zu Ungenauigkeiten und kleineren und größeren Fehlern. Dabei handelt es sich um dieselben Fehler, die gerade die Studenten der Zielgruppe oft machen und die diesen das Verständnis des Stoffes erschweren. Für den Lehrer kann es sehr schwer sein, diese Fehler und falschen Vorstellungen bei den Studenten zu vermeiden oder sie gegebenenfalls zu korrigieren. Das vorliegende Buch ist dazu jedenfalls nicht geeignet.NEWLINENEWLINENEWLINEEs folgen einige Beispiele für Fehler und Ungenauigkeiten, die in dem Buch zu finden sind.NEWLINENEWLINENEWLINE1) Bei der Einführung des Begriffes ``Grenzwert'' wird dieser untrennbar mit dem Begriff ``Häufungspunkt'' (der in dem Buch nicht explizit vorkommt) vermischt; einige der Erklärungen beziehen sich auf den ersten, andere auf den zweiten Begriff. Eine auch nur halbwegs richtige Vorstellung dieses wichtigen Begriffes wird dadurch unmöglich. Weiter gibt der Autor an dieser Stelle auch drei Definitionen für diesen Begriff; die erste davon (die Standarddefinition) ist richtig, die zweite benutzt den vorher nicht exakt definierten Begriff der Nullfolge, und die dritte ist falsch. NEWLINENEWLINENEWLINE2) Nicht nur hier, sondern auch an anderen Stellen des Buches werden neue Begriffe über andere, undefinierte Begriffe eingeführt. Beispielsweise werden zur Definition der Stetigkeit Grenzwerte von \(x\) gegen \(a\) gebildet, ohne daß diese Grenzwertbildung irgendwo erklärt ist. Eine rein anschauliche Vorstellung dieser Grenzwertbildung reicht nicht, um später Probleme im konkreten Umgang damit zu vermeiden: Darf hier etwa \(x=a\) sein oder nicht?NEWLINENEWLINENEWLINE3) Auf Seite 30 werden die Additionstheoreme für die trigonometrischen Funktionen ``bewiesen'', indem sie in eine richtige Gleichung eingesetzt werden. Da das Ergebnis wieder eine richtige Gleichung ist, wird behauptet, daß dann die Additionstheoreme ebenfalls richtig sein müssen. Es kann manchmal schwierig sein, Studenten in den Grundvorlesungen von genau dieser Art von ``Zirkelschluß'' abzubringen; das vorliegende Buch ist dabei offensichtlich keine Hilfe. NEWLINENEWLINENEWLINE4) Auf den Seiten 134/135 wird die für die Konvergenz einer Reihe \(\sum a_k\) notwendige Bedingung \(\lim a_k=0\) diskutiert. Behauptet wird: Bei alternierenden Reihen ist das Kriterium notwendig und hinreichend für die Konvergenz der Reihe. Auch dies ist ein Fehler, den Studenten in Prüfungen manchmal machen; das vorliegende Buch kann ihnen also auch hier nicht helfen, die Leibniz-Regel richtig anzuwenden.