A graded collocation method for first kind boundary integral equations on polygons (Q2717506)

Dans ce mémoire l'auteur se propose de construire des méthodes de collocation générant un ordre de convergence éléve en norme \(L^2\); il envisage de raffiner le maillage au voisinage des sommets d'un contour polygonal. Le potentiel de simple couche sur un polygone est analysé. L'auteur se base sur des résultats établis par \textit{P. Laubin} et \textit{M. Baiwir} [SIAM J. Numer. Anal. 35, No. 4, 1452-1472 (1998; Zbl 0911.65115)]. L'allure de la solution d'une équation intégrale frontière à noyau logarithmique est décrite. Le problème est étudié, entre autre, dans le cas d'un angle infini. Les développements font intervenir les opérateurs de convolution de Mellin sur la demidroite.NEWLINENEWLINENEWLINEL'auteur examine désormais une méthode de collocation qui s'appuie sur des splines de degré \(k\) afin de résoudre l'équation intégrale du premier type NEWLINE\[NEWLINE-{1\over \pi} \int_\Gamma\log|x-\xi|u(\xi) d\Gamma(\xi)= f(x),\quad x\in\Gamma,NEWLINE\]NEWLINE \(\Gamma\) désignant la frontière d'un polygone \(\Omega\subset\mathbb{R}^2\). La méthode consiste à discrétiser l'équation proposée sur le bord \(\Gamma\) de \(\Omega\) par un procédé qui sera précisé. Le bord de \(\Omega\) (ouvert) est paramétré par une fonction \(\gamma: [-\pi,\pi]\to \Gamma\) proportionnelle à la longueur d'arc.NEWLINENEWLINENEWLINEL'auteur introduit l'espace \(S^k_\Delta\) des fonctions spline régulières de degré \(k\) \((k\in N_0)\) assujetties à un certain découpage \(\Delta\) de \(\mathbb{R}\). En outre il montre qu'on peut approcher \(x^\alpha\) au voisinage de \(0\) moyennant les splines considérées avec une preécision comparable à celle obtenue pour des fonctions plus régulières. Cette approximation se fait au moyen d'un découpage non uniforme de l'intervalle \([0,1]\) qui s'écrit \(\Delta= \{x_j\}^N_{j=0}\), \(x_j= ({j\over N})^q\), \(q\) dépendant de l'exposant \(\alpha\).NEWLINENEWLINENEWLINEL'auteur prouve que pour des splines \(u^{(k)}_\Delta\in S^k\) de dégré \(0\leq k\leq 3\) la norme de l'erreur dans \(L^2\) vérifie NEWLINE\[NEWLINE\inf_{u^{(k)}_\Delta} \|u^{(k)}_\Delta- x^\alpha\|_{L^2}< C N^{-(k+1)},\quad C> 0;NEWLINE\]NEWLINE les estimations d'erreur obtenues sont d'ordre optimum. L'auteur aboutit à la résolution d'un système linéaire impliquant une matrice tridiagonale. Par ailleurs la convergence des approximations est examinée.