Completely metrizable spaces of real sequences (Q2717755)

On ne considère ici que des sous-espaces de l'ensemble des suites sur \(\mathbb{R}\). Par définition une suite \(x\) est au plus égale à une suite y si l'on a \(|x(n)|\leq |y(n)|\) pour tout entier \(n\). Un ensemble \(X\) est dit héréditaire si toute suite au plus égale à un élément de \(X\) appartient à \(X\). Enfin, une évaluation est une fonction réelle \(\varphi\) possédant un certain nombre de propriétés, parmi lesquelles d'être positive, sous-additive, croissante, sous-homogène, semi-continue inférieurement, libre et compatible avec les topologies polonaises des espaces finis; on lui associe une pseudo-distance \(d\), l'adhérence \(\text{Exh}(\varphi)\) de l'ensemble des suites finies, et l'ensemble \(\text{Fin}(\varphi)\) des suites \(x\) pour lesquelles la limite de \(\varphi(\lambda x)\) est nulle lorsque \(\lambda\) tend vers 0.NEWLINENEWLINENEWLINEDes préliminaires conduisent au résultat central: sous des hypothèses bien précises et faisant intervenir des ensembles héréditaires et fermés, une démonstration longue et rigoureuse prouve qu'un ensemble \(X\) est compris entre \(\text{Exh}(\varphi)\) et \(\text{Fin}(\varphi)\), espaces uniques (sous réserve d'existence); par ailleurs, la classe d'équivalence de l'évaluation \(\varphi\) est, elle aussi, unique. Plusieurs conséquences en sont déduites.