Weakly o-minimal expansions of Boolean algebras (Q2720328)

Als Verallgemeinerung des Begriffs eines algebraisch abgeschlossenen Körpers hatten J. Baldwin und A. Lachlan 1971 den modelltheoretischen Begriff der minimalen Struktur eingeführt. Die analoge Verallgemeinerung des Begriffs eines reell abgeschlossenen, geordneten Körpers führte zum Begriff der o-minimalen partiell geordneten Struktur. Es wurden seither verschiedene Abschwächungen dieser Begriffe vorgeschlagen. In der vorliegenden Abhandlung wird für partiell geordnete Strukturen, deren partielle Ordnung die Ordnung einer Booleschen Algebra ist, die folgende Definition vorgeschlagen: NEWLINENEWLINENEWLINEDefinition. Eine Expansion \({\mathfrak M} =\langle M,\leq,\dots\rangle\) einer Booleschen Algebra \(\langle M,\leq\rangle\) ist schwach o-minimal, falls die einzigen parametrisch definierbaren Teilmengen von \(M\) die Booleschen Kombinationen von konvexen Unterverbänden sind.NEWLINENEWLINENEWLINEEs wird gezeigt, dass schwach o-minimale Expansionen von Booleschen Algebren nur endlich viele Atome haben können. In Satz 4.1 wird gezeigt, dass für o-minimale Boolesche Algebren \(\langle M,\leq\rangle\) und beliebige unendliche linear geordnete Teilmengen \(K\), die expandierten Strukturen \(\langle M,\leq, K\rangle\) niemals schwach o-minimal sind. In Satz 4.5 wird gezeigt, dass jedoch für Boolesche Algebren \(\langle M,\leq\rangle\), die nur endlich viele Atome besitzen, und beliebige echte Ultrafilter \(F\) von \(M\), die expandierten Strukturen \(\langle M, \leq, F\rangle\) stets schwach o-minimal sind. Eine Reihe weiterer Expansionen Boolescher Algebren zeigt, dass der vorgeschlagene Begriff der ``schwachen o-Minimalität'' tatsächlich zu interessanten modelltheoretischen Strukturen führt und daher anderen Vorschlägen vorzuziehen ist.