Global existence and asymptotics for the quasilinear Klein-Gordon equation with small data in one space dimension (Q2725495)

Soit \(v\) une solution de l'équation de Klein-Gordon quasilinéaire en dimension 1 d'espace NEWLINE\[NEWLINE\square v+v= F(v,\partial_t v,\partial v,\partial_t \partial_x v,\partial^2_xv)NEWLINE\]NEWLINE à données de Cauchy régulières à support compact, de taille \(\varepsilon\to 0\), où \(F\) est une non-linéarité \({\mathcal C}^\infty\), à valeurs réelles, nulle su moins à l'ordre 2 à l'origine, affine en ses deux derniers arguments. On sait que \(v\) existe sur un intervalle de temps de longueur \(\geq e^{c/ \varepsilon^2} (c> 0)\) et qu'en général elle explose en temps fini de l'ordre de \(e^{c'/ \varepsilon^2}(c'>0)\). L'A. avait conjecturé [Ann. Inst. Henri Poincaré, Anal. Non Linéaire 16, No. 5, 563-591 (1999; Zbl 0937.35160)] une condition portant sur les termes quadratiques et cubiques de \(F\), nécessaire et suffisante pour l'existence globale en temps pour \(\varepsilon\) assez petit.NEWLINENEWLINENEWLINELe premier des deux théorèmes principaux du présent article établit la suffisance de cette condition.NEWLINENEWLINENEWLINELa deuxième but de l'article est d'obtenir l'allure du comportement asymptotique lorsque \(t\to\infty\) des solutions sous les hypothèses ci-dessus. En particulier, les solutions n'ont pas en général un comportement de solution linéaire à l'infini.NEWLINENEWLINENEWLINEL'ingrédient de base dans la preuve des résultats est l'utilization des ``formes normales paradifférentielles''.