Analysis of algorithms for the parallel solutions of boundary value problems of elliptic type (Q2726130)

La modélisation de nombreux problèmes de mathématique appliquée conduit au traitement de problèmes aux limites. Fréquemment la forme géométrique du domaine présente des propriétés particulières d'invariance relative à un certain groupe de transformations, telles que les symétries ou les rotations.NEWLINENEWLINENEWLINEDiverses méthodologies ont été proposées pour la résolution de problèmes de cette classe. Dans ce mémoire les auteurs analysent deux procédés différents, qui définissent des algorithmes de décomposition semblables pour des problèmes différentiels linéaires au contour, doués de propriétés de symétrie. Ils démontrent que, sous certaines hypothèses, ces procédés s'avèrent équivalents.NEWLINENEWLINENEWLINELa première méthode examinée est celle de la à decomposition en sous-espace. Soit \({\mathcal G}\) un groupe fini de \(N\) éléments \(\gamma_1,\dots, \gamma_N\), \(q\) désignant le nombre des classes d'équivalence de \({\mathcal G}\). Soit \({\mathcal A}_r\) le groupe des matrices carrées non dégénérées d'ordre \(r\) à éléments complexes et \(\tau\) un homomorphisme de \({\mathcal G}\) dans \({\mathcal A}_r\).NEWLINENEWLINENEWLINESoit d'autre part \(\Omega\) un ouvert borné de \(\mathbb{R}^m\), \({\mathcal G}\) un groupe de congruences qui transforment \(\Omega\) en lui-même et \(V(\Omega)\) un espace de fonctions. Soit \({\mathcal L}\) un opérateur différentiel linéaire défini dans \(V(\Omega)\); cet espace est choice tel qu'on peut poser un problème au contour. Soient \(\Omega\), \(V(\Omega)\) invariants par rapport à un groupe fini. Une décomposition de \(V(\Omega)\) au moyen de projecteurs est considérée.NEWLINENEWLINENEWLINEA un problème au contour du même type les auteurs appliquent une méthode de décomposition discrète. \({\mathcal L}\) est un opérateur elliptique, invariant, de même que le domaine \(\Omega\) et l'espace \(V(\Omega)\), à l'égard d'un groupe de congruences \({\mathcal G}\). La représentation algébrique du problème de Galerkin aux éléments finis est examinée.NEWLINENEWLINENEWLINEMoyennant des hypothèses appropriées les auteurs se proposent d'analyser un algorithme parallèle du type multigrid, en vue de la résolution du système linéaire obtenu.NEWLINENEWLINENEWLINELes deux méthodes décrites sont étayées par des exemples significatifs. Elles donnent lieu à deux algorithmes, qui sont rédigés en Algol; une caractéristique de ceux-ci en est la mise en oeuvre aisée sur des processeurs massivement parallèles.NEWLINENEWLINENEWLINEDeux applications différentes ont été réaslisées sur un réseau de transputers. La première traite du problème direct de l'électrocardiologie, proposé il y a quelques années par G. Di Cola. La seconde application a trait à un probl\`me généralisé de valeurs progres.