Denominator of the Eisenstein cohomology of GL\((2)\) over imaginary quadratic fields (Q2726212)

Sei \(F\) ein imaginär-quadratischer Zahlkörper, \({\mathcal O}\) der Ganzzahlring und \({\mathfrak a}\subset{\mathcal O}\) ein Ideal. Sei \(\Gamma\) eine arithmetische Untergruppe, die das \({\mathcal O}\)-Untergitter \({\mathfrak a}\oplus{\mathcal O}\subset F^2\) stabilisiert. Diese Gruppe operiert dann auf einem \({\mathcal O}\)-Untergitter \({\mathcal M}\) einer endlichdimensionalen irreduziblen Darstellung \(M\) der Gruppe \(\text{GL}_2(F)\). Die Kohomologie der Gruppe \(\Gamma\) mit Koeffizienten in \({\mathcal M}\) läßt sich bis auf 2- und 3-Torsion als Kohomologie des assoziierten Koeffizientensystems \(\widetilde{\mathcal M}\) über \(\Gamma \setminus \mathbb{H}_3\) berechnen, wobei \(\mathbb{H}_3\) den dreidimensionalen hyperbolischen Raum bezeichnet. Sei \(Res\) die Einschränkung dieser Kohomologie auf den Rand der Borel-Serre Kompaktifizierung. Mit Hilfe von Eisensteinreihen wird ein Schnitt \(Eis\) gegen die Einschränkungsabbildung konstruiert. So zerlegt sich die Kohomologie über den komplexen Zahlen in den Eisensteinanteil \(H^bullet_{\text{Eis}}\) und den inneren Anteil \(H_!^\bullet\oplus\mathbb{C}\). Sie zerlegt sich aber nicht schon über \({\mathcal O}\) bzw. \({\mathcal O} [\frac 16]\). Dies wird durch Kongruenzen zwischen dem inneren Anteil und dem Eisensteinanteil der Kohomologie verhindert. NEWLINENEWLINENEWLINEIn der vorliegenden Arbeit werden solche Kongruenzen für \(H^2\) aus modularen Symbolen, die aus Einbettungen von Einheitengruppen von 4-dimensionalen zentraleinfachen Algebren entstehen, konstruiert. Das Hauptresultat besteht darin, dass gewisse kohomologische Kongruenzen zwischen automorphen Darstellungen der \(\text{GL}_2(\mathbb{Q})\) zu solchen der Gruppe \(\text{GL}_2(F)\) angehoben werden können, wie es nach der Langlands-Funktorialität auch zu erwarten ist.