Singular modular forms and algebras with involution (Q2726228)

Der Autor startet mit einer einfachen, assoziativen, unitären, endlich-dimensionalen \(\mathbb{Q}\)-Algebra \(A\) mit positiver Involution \(J\). Dazu betrachtet er die symplektische Gruppe im Sinne von \textit{C. L. Siegel} [Festschr. Akad. Wiss. Göttingen 1951, Math.-Phys. Kl., 157-167 (1951; Zbl 0043.26203)], die auf einem Tubengebiet operiert. Durch Wahl einer geeigneten Ordnung \(\mathcal O\) erhält man eine Modulgruppe, die als Spezialfall \(A = \mathbb{Q}^{n\times n}\), \(J(a) = a^{\text{tr}}\), \({\mathcal O} = \mathbb{Z}^{n\times n}\) die Siegelsche Modulgruppe liefert.NEWLINENEWLINENEWLINEIn diesem allgemeinen Rahmen studiert der Autor singuläre Modulformen und verallgemeinert die Resultate von \textit{E. Freitag} [Singular modular forms and theta relations. Lecture Notes Math. 1487, Springer, Berlin (1991; Zbl 0744.11024)]. Es wird gezeigt, dass geeignet definierte Theta-Reihen Modulformen zu Kongruenzgruppen sind. Das Hauptresultat besagt, dass jede Modulform singulären Gewichts als Linearkombination gewisser Theta-Reihen darstellbar ist.