Simultaneous algebraic approximation of Liouville numbers (Q2739258)

L'approximation d'un point \(\theta\in \mathbb{C}^m\), défini sur un sous-corps de \(\mathbb{C}\) de degré de transcendance \(k\) \((k\geq 1)\), par des points algébriques \(\alpha\in\overline{\mathbb{Q}}^m\) offre une alternative séduisante aux critères pour l'indépendance algébrique. Dans ce contexte plusieurs conjectures ont été formulées, en particulier par D. Roy et M. Waldschmidt, M. Laurent et le critique: si \((d_n)_{n\in\mathbb{N}}\) et \((t_n)_{n\in\mathbb{N}}\) sont des suites d'entiers modérément croissantes tendant vers l'infini, avec \(d_n\leq t_n\), alors existe-t-il pour une infinité de \(n\) un point \(\alpha\in\overline{\mathbb{Q}}^m\), défini sur un corps de nombres de degré \(\leq d_n\), satisfaisant \(\|\theta-\alpha\|\leq\exp(-cd^{1/k}_nt_n)\) pour un réel \(c = c(\theta)\) convenable et dont la hauteur est majorée par \(t_n\)? Dans cette dernière condition on peut songer à prendre la hauteur logarithmique absolue du point \(\alpha\) ou sa hauteur relative (produit de la hauteur absolue par le degré du corps de définition).NEWLINENEWLINENEWLINEConstruisant certains points \(\theta\) à coordonnées nombres de Liouville, l'auteur montre qu'il n'est pas possible, lorsque \(k > 1\), d'imposer un contrôle de la hauteur absolue. En contraste, un énoncé répondant à la question ci-dessus est maintenant démontré avec un contrôle de la hauteur relative (en supposant toutefois \((t_n/d_n)_{n\in\mathbb{N}}\) également croissante).