Automorphic functions on the three-dimensional hyperbolic space and class numbers of biquadratic fields (Q2743203)

Wir zitieren aus der Einleitung des Verfassers: ``Im Jahre 1982 veröffentlichten die Mathematiker \textit{L. A. Takhtajan} und \textit{A. I. Vinogradov} eine Arbeit unter dem Titel `The Gauß-Hasse conjecture on real quadratic fields with class number one' [J. Reine Angw. Math. 335, 39-86 (1982; Zbl 0497.12004)] in der sie durch eine Betrachtung der Spektralzerlegung des automorphen Laplace-Operators auf Quotienten der oberen Halbebene nach Kongruenzuntergruppen \(\Gamma_0(D)\) von \(\text{PSL}(2,\mathbb{Z})\) einen Zusammenhang zwischen dem Auftreten des Eigenwertes \(-\frac 14\) des automorphen Laplace Operators und der Tatsache, dass der reell-quadratische Körper \(\mathbb{Q}(\sqrt{D})\) Klassenzahl eins besitzt, aufdecken könnten. Die Hoffnung über dieses Ergebnis zu einem positiven Resultat über die Richtigkeit der Gaußschen Vermutung, es gebe unendlich viele reell-quadratische Körper mit der Klassenzahl Eins zu kommen, konnte allerdings nicht erfüllt werden. Es ist interessant herauszufinden, ob sich eine solche Verbindung auch in anderen Situationen wieder findet.NEWLINENEWLINENEWLINEIn diesem Zusammenhang hat \textit{G. Hetrodt} in seiner Dissertation [vgl. C. R. Acad. Sci., Paris, Sér. I 319, 921-926 (1994; Zbl 0847.11029)] gezeigt, dass ein sehr ähnlicher Zusammenhang auch für Quotienten des dreidimensionalen hyperbolischen Raumes nach gewissen Kongruenzuntergruppen mit den Klassenzahlen entsprechender biquadratischer Zahlkörper existiert.NEWLINENEWLINENEWLINEEs wäre nun sicher wünschenswert, diesen Zusammenhang auf eine mehr strukturelle Art und Weise als bisher zu begreifen. Dies soll in der vorliegenden Arbeit für den Fall des dreidimensionalen hyperbolischen Raumes geschehen.NEWLINENEWLINENEWLINEDer Hauptsatz wird in drei verschiedenen Versionen formuliert, um das Ergebnis vielfältig zu beleuchten. Die erste Version verdeutlicht vor allem, welche Anteile aus Sicht der Spektraltheorie eine Rolle spielen. Für die zweite Version des Hauptsatzes wurde der Aspekt der analytischen Zahlentheorie betont. Die dritte Version liefert der Hauptsatz für den Fall, dass es keine Laplace-Eigenfunktionen zum Eigenwert \(-1\) gibt, eine besondere Darstellung für die Klassenzahl des biquadratischen Zahlkörpers \(L=\mathbb{Q}(\sqrt{D},\sqrt{\Delta})\). Hierzu werden am Ende des Kapitels noch einige Beispiele durchgerechnet''.