Non-constructive properties of the real numbers (Q2743653)

Die Verff. betrachten einige schwächere Formen des Auswahlaxioms für Mengen von reellen Zahlen. Am meisten wird folgendes Axiom betrachtet:NEWLINENEWLINENEWLINEFür jede abzählbare Familie \(\{A_i: i\in\mathbb{N}\}\) von nichtleeren Teilmengen von \(\mathbb{R}\) gibt es eine Auswahlmenge \(\{c_i: i\in\mathbb{N}\}\).NEWLINENEWLINENEWLINEDieses Axiom is äquivalent mit seiner Modifikation, wo die Auswahlmenge für wenigstens eine unendliche Teilfamilie verlangt wird.NEWLINENEWLINENEWLINEAus diesem Axiom ergeben sich folgende Sätze:NEWLINENEWLINENEWLINEa) Die Vereinigung einer abzählbaren Familie von abzählbaren Mengen ist abzählbar;NEWLINENEWLINENEWLINEb) \(\aleph_1\) is regulär;NEWLINENEWLINENEWLINEc) \(\mathbb{R}\) ist nicht die Vereinigung einer abzählbaren Familie von abzählbaren Mengen.NEWLINENEWLINENEWLINEDer letzte Satz folgt auch aus einer schwächeren Form des Axioms, wo auch jedes \(A_i\) abzählbar sein soll. Diese schwächere Form ist auch äquivalent mit seiner Modifikation, wo eine Auswahlmenge für wenigstens eine unendliche Teilfamilie verlangt wird.NEWLINENEWLINENEWLINEDas erstgenannte Axiom selbst folgt aus der Voraussetzung: Wenn \(Q\) eine binäre Relation auf der Menge der rellen Zahlen ist, so dass \(\forall x\exists y: xQy\) gilt, dann gibt es eine Familie \(\{x_n: n\in\mathbb{N}\}\) von reellen Zahlen, so dass \(xQx_{n+1}\) für jedes \(n\in\mathbb{N}\) gilt.NEWLINENEWLINENEWLINEDieser Satz seinerseits folgt aus folgendem:NEWLINENEWLINENEWLINEFür jede geordnete Familie \(\{A_\alpha:\alpha\in\kappa\}\), \(\kappa\) eine Ordinalzahl, von solchen Mengen, dass \(\bigcup_\alpha A_\alpha\) linear geordnet ist, gibt es eine Auswahlmenge.