Symbiotic numbers associated with irrational numbers (Q2746566)

Verf. definiert zunächst die obere (bzw. untere) symbiotische Zahl \(O(R_1,R_2)\) (bzw. \(U(R_1,R_2)\)) zweier linear geordneter Mengen \(R_1, \;R_2\) als größte (bzw. kleinste) Anzahl von Elementen von \(R_1\), die strikt zwischen zwei aufeinander folgenden Elementen von \(R_2\) liegen. Behandelt wird dann nur der Fall oberer symbiotischer Zahlen. Verf. interessiert sich insbesondere für Paare positiver reeller Irrationalzahlen \(\alpha, \;\gamma\), für die \(O(R_1,R_2)\) endlich ist, wobei \(R_2 := \{i+j\alpha |i,j\in{\mathbb N}_0\}\) und \(R_1 := R_2+\gamma\) gesetzt ist. NEWLINENEWLINENEWLINESei \(s_n := i_n+j_n\alpha\) die Folge, die entsteht, indem man die Elemente von \(R_2\) nach wachsender Größe anordnet. Als Hauptziel der Untersuchung kann dann folgendes Problem formuliert werden: Man gebe die größte Anzahl von Zahlen der Form \(i+j\alpha+\gamma\) an, die zwischen \(i_n+j_n\alpha\) und \(i_{n+1}+j_{n+1}\alpha\) liegen. Zur Behandlung dieses Problems zieht Verf. eine ganze Reihe einfacher Eigenschaften regulärer Kettenbrüche heran. NEWLINENEWLINENEWLINEEin typisches Ergebnis lautet: Hat \(\alpha\) beschränkte Teilnennerfolge und ist \(\gamma\) von \(\alpha\) rational unabhängig, so ist \(O(R_1,R_2)\) endlich (und man kann eine explizite Oberschranke dafür angeben).