Triangulated manifolds with few vertices and vertex-transitive group actions (Q2755076)

Aus der Zusammenfassung: In dieser Arbeit werden zwei Methoden vorgestellt, die es erlauben, Triangulierungen von Mannigfaltigkeiten mit wenigen Ecken zu gewinnen:NEWLINENEWLINENEWLINE\(\bullet\) Mit Hilfe von sogenannten bistellaren Operationen lassen sich Triangulierungen von Mannigfaltigkeiten lokal, unter Erhaltung des PL-Homöomorphietyps, modifizieren. Betrachtet man die Summe aller Seiten einer Triangulierung als zu minimierende Zielfunktion, dann erlaubt der Einsatz von Simulated annealing, lokale und sogar globale Minima der Zielfunktion aufzusuchen. Auf diese Weise ließen sich minimale Triangulierungen der Mannigfaltigkeiten \(S^2\times S^2\) mit 11, \(S^3\times S^2\) mit 12, \(S^3 \times S^3\) mit 13, \((S^2\times S^2)\# (S^2\times S^2)\) mit 12 und \(\mathbb{R} \mathbb{P}^4\) mit 16 Ecken gewinnen.NEWLINENEWLINENEWLINE\(\bullet\) Eine systematischere Herangehensweise ist, alle triangulierten Mannigfaltigkeiten mit bestimmten Eigenschaften für festgelegte Parameterbereiche vollständig zu enumerieren. Dies wurde beispielsweise für eckentransitive Triangulierungen mit bis zu 13 Ecken durchgeführt, wobei viele bekannte, aber auch einige interessante neue Beispiele gefunden wurden. Es zeigte sich zudem, dass es eckentransitive, minimale Triangulierungen von \(S^2\times S^2\), \(S^3\times S^2\) und \(S^3\times S^3\) nicht gibt.NEWLINENEWLINENEWLINEFür beide angeführten Methoden lassen sich schnell weitere Anwendungen finden. So kann auf bistellaren Flips basierendes Simulated annealing als Heuristik dazu verwendet werden, den Homöomorphietyp einer Mannigfaltigkeit zu bestimmen. Hierzu werden auf ein Testobjekt so lange bistellare Operationen angewandt, bis es letztendlich kombinatorisch isomorph zu einer bekannten ``Referenztriangulierung'' einer Mannigfaltigkeit mit übereinstimmenden Invarianten ist. Dieses Vorgehen konnte in der Arbeit mit großem Erfolg eingesetzt werden.NEWLINENEWLINENEWLINENeben Mannigfaltigkeiten lassen sich die enumerativen Verfahren auch generell für Simplizialkomplexe mit speziellen Merkmalen anwenden. Gesucht und gefunden wurden z.B. nicht-kontrahierbare, \(\mathbb{Z}\)-azyklische Simplizialkomplexe mit einer eckentransitiven Gruppenwirkung; das kleinste solche Beispiel in Dimension 5 auf 30 Ecken.