``La maîtrise'' for calculus in linear and nonlinear mechanics (Q2757788)

Durant la seconde moitié du vingtième siècle et tout particulièrement durant les deux dernières décennies, la construction mécanique -- et plus généralement les problèmes de mécanique des milieux continus déformables -- a connu des progrès considérables, essentiellement liés à l'accroissement extraordinaire des performances des matériels et des logiciels informatiques. Ainsi les délais de conception et de réalisation de nouveaux prototypes d'automobiles ont été divisés par deux, voire trois ou quadre. Ces progrès reposent ainsi et surtout sur la qualité des modèles numériques utilisés qui directement liée au bon équilibre entre deux tendances contradictoires: utilisation de modèles de plus en plus complexes afin de mieux approcher la réalité physique. La conséquence directe est la multipication des couplages de modèles élémentaires, des non-linéarités et donc des algorithmes itératifs et des inconnues: d'où l'allongement des temps de calcul et l'augmentation des capacités de mémoires; introduction d'hypothèses simplificatrices afin d'accélérer les calculs sans nuire à la précision des résultats.NEWLINENEWLINENEWLINEL'objectif de cet ouvrage est de faire le point sur les différentes méthodes disponsibles pour réaliser le meilleur équilibre possible entre ces deux tendances contradictoires et parvenir ainsi à une excellente ``maîtrise du calcul en mécanique linéaire ou non-linéaire''. Cet ouvrage comporte neuf chapitres qui permettent d'aborder de manière progressive et très complète les différents aspects et résultats de la discipline.NEWLINENEWLINENEWLINELa notion de qualité pour une approche éléments finis est abordée dans le chapitre 1. Cette notion utilise des problèmes de référence linéaires ou non-linéaires, statiques ou évolutifs et des modèles approchés par la méthode des éléments finis. En utilisant une analyse mathématique des équations du (des) modèle(s) continu(s), il est alors possible d'obtenir une estimation a priori des erreurs de discrétisation. Les techniques proposées ici utilisent la solution numérique éléments finis comme information complémentaire, d'où l'appellation d'estimations d'erreur a posteriori qui sont schématiquement classées en trois catégories selon les techniques utilisées.NEWLINENEWLINENEWLINELa première de ces trois catégories, basée sur le concept d'erreur en relation de comportement est étudiée dans le chapitre 2 dans le cas de problèmes linéaires. C'est en fait sur cette première catégorie que cet ouvrage met l'accent: elle est à la fois la plus proche de la formulation mécanique des problèmes et elle s'étend sans trop de difficultés aux problèmes évolutifs non-linéaires. Les deux autres catégories fondées sur la notion d'indicateur d'erreur associée à la vérification des équations d'équilibre pour la première et sur le défaut de régularité de la solution éléments finis pour la seconde, sont présentées dans le chapitre 3, toujours dans le cas de problèmes linéaires. Ces trois catégories d'estimateurs sont alors comparées dans le chapitre 4, toujours pour des problèmes linéaires.NEWLINENEWLINENEWLINELa principale utilisation de ces estimateurs a posteriori est le développement de techniques d'adaptation de maillages éléments finis, tout particulièrement les méthodes en ``\(h\)'' consistant à raffiner le maillage dans des zones adéquates pour obtenir un niveau de qualité fixé à l'avance sans augmenter trop fortement la taille des problèmes. Ces techniques sont détaillées et illustrées en dimensions 2 et 3 dans le chapitre 5 dans le cas de problèmes linéaires. Les quatre chapitres suivants présentent les résultats les plus récents des auteurs: la méthode des erreurs en relation de comportement est utilisée pour mettre en œvre des estimateurs d'erreurs a posteriori pour les problèmes non-linéaires d'évolution dans le chapitre 6, puis pour les problèmes de vibrations et de dynamique transitoire dans le chapitre 7. Les techniques de construction de champs admissibles sont considérées dans le chapitre 8 et illustrées à l'aide de problèmes thermiques bidimensionnels, de problèmes d'élasticité bi- et tridimensionnels, d'élasticité incompressible et de plaques élastiques. Pour les applications industrielles, il est crucial de disposer d'estimations des grandeurs locales (déplacements, contraintes\dots). Le chapitre 9 présente quelques résultats récents dans ce domaine.NEWLINENEWLINENEWLINECet ouvrage, écrit par deux enseignants-chercheurs internationalement reconnus dans ce domaine, réalise une excellente synthèse des méthodes existantes en combinant au mieux la méthodologie et les illustrations numériques, et comporte un grand nombre de résultats nouveaux, tout particulièrement dans les chapitres 6 à 9. Je recommande tout particulièrement cet ouvrage aux mécaniciens, numériciens, étudiants de 3ème cycle, chercheurs et ingénieurs qui souhaitent maîtriser, voire optimiser leurs stratégies de calcul en mécanique linéaire et non-linéaire.