Elementary equivalence for Abelian-by-finite and nilpotent groups. (Q2758071)

Aus der Szmielew-Klassifikation ergibt sich sofort, dass zwei abelsche Gruppen elementar-äquivalent sind, wenn sie dieselben \(\forall\exists\)-Aussagen erfüllen. In der vorliegenden Abhandlung wird gezeigt, dass zwei fast-abelsche Gruppen genau dann elementar-äquivalent sind, wenn sie dieselben \(\exists\forall\exists\)-Aussagen erfüllen. Dabei wird eine Gruppe \(G\) fast-abelsch genannt, wenn sie einen abelschen Normalteiler \(N\) mit endlicher Faktorgruppe \(G/N\) hat. Zum Beweis wird gezeigt, dass der maximale abelsche Normalteiler in fast-abelschen Gruppen mit einer quantorenfreien Formel parametrisch definierbar ist.NEWLINENEWLINE Es wird auch gezeigt, dass ein analoger Satz für nilpotente Gruppen nicht gelten kann. Für jede natürliche Zahl \(n\geq 1\) gibt es zwei nilpotente Gruppen \(G\) und \(H\), so dass \(G\) und \(H\) zwar dieselben \(\forall_n\)-Aussagen erfüllen, aber es gibt eine \(\forall_{n+1}\)-Aussage, die in \(G\) und nicht in \(H\) gilt. Diese Gruppen \(G\) und \(H\) werden als Gruppen von oberen Dreiecks-Matrizen über geeigneten Booleschen Ringen konstruiert. Sie sind nilpotent der Klasse 2 und vom Exponenten 4.