Arithmetical properties of the values of functions satisfying certain functional equations of Poincaré (Q2759140)

Sei \(K\) ein algebraischer Zahlkörper, \(d := [K:{\mathbb Q}]\), sei \(q\in K\) und \(v\) eine Stelle von \(K\) mit \(|q|_v > 1; \;h(q)\) bezeichne die absolute Höhe von \(q\) und schließlich werde \(d_v := [K_v:{\mathbb Q}_v]\) gesetzt, wobei \(K_v\) bzw. \({\mathbb Q}_v\) die Vervollständigung von \(K\) bzw. \({\mathbb Q}\) bezüglich \(v\) bezeichnet. Es möge \(f\) der Funktionalgleichung \(z^sf(z) =P(z)f(qz)+Q(z)\) mit \(s\in{\mathbb N}\), \(P,Q\in K[z], \;P(0)\not= 0\) genügen; die letzte Bedingung beinhaltet, daß \(f\) eindeutig festgelegt ist als meromorphe Funktion in ganz \(K_v\). Schließlich sei \(\lambda := (d\log h(q))/(d_v\log|q|_v) (\geq 1)\), \(\eta\in]1,2[\) , \(\rho\in{\mathbb R}_+\) und \(\widetilde{\eta} := \eta^3/(12-6\lambda), \;\widetilde{\rho} := 2-\eta+\rho, \Lambda := \widetilde{\rho}(1+\widetilde{\rho} s/2), \;\psi := \rho(\eta-1)\). NEWLINENEWLINENEWLINEFolgendes Hauptresultat beweisen Verff. hier. Ist \(f\) kein Polynom und existieren \(\eta, \rho\) wie oben mit \((\ast): \psi >(\lambda-1)\Lambda+\widetilde{\eta}\lambda\), so gilt \(f(\alpha) \not\in K\) für jedes \(\alpha\in K\setminus\{0\}\), welches nicht Pol von \(f\) ist. Weiter ist für alle solche \(\alpha\) das Infimum der \(\mu\in{\mathbb R}_+\) mit \(|f(\alpha)-\theta|_v > h(\theta)^{-\mu}\) für alle \(\theta\in K\) mit genügend großem \(h(\theta)\) nicht größer als \((d/d_v)\inf(\Lambda+\psi)/(\psi-(\lambda-1)\Lambda-\widetilde{\eta}\lambda)\), wobei dies letzte Infimum über alle \((\eta,\rho)\in]1,2[\times{\mathbb R}_+\) zu nehmen ist, für die \((\ast)\) gilt. Insbesondere ist \(f(\alpha)\) keine Liouville-Zahl. NEWLINENEWLINENEWLINEDieser Satz verallgemeinert und quantifiziert das Hauptergebnis von \textit{D. Duverney} [J. Théor. Nombres Bordx. 8, 443-447 (1996; Zbl 0870.11046)]. Einige interessante Anwendungen, insbesondere auf \(q\)-hypergeometrische Reihen, werden angegeben.