An extension for the generalized Poisson summation formula of Weil and its ations (Q2769540)

Einer der grundlegenden Sätze in der klassischen Theorie der Riemannschen Thetafunktion ist die Transformationsformel, die man in der allgemeinen Form für die paramodulare Gruppe NEWLINE\[NEWLINE\Gamma(e)= \{\gamma\in \text{Sp}(n,\mathbb{R})\mid L\gamma=L\}NEWLINE\]NEWLINE für eine Elementarteilermatrix \(e= [e_1,\dots, e_n]\) und ein Gitter \(L= \mathbb{Z}^n\times \mathbb{Z}^ne\) im \(\mathbb{R}^{2n}\) etwa in dem Buch von \textit{J.-I. Igusa} [Theta Functions (Springer, Berlin) (1972; Zbl 0251.14016)] findet. Ein anderer Zugang zu dieser Formel ergibt sich aus der Darstellungstheorie über eine verallgemeinerte Poissonsche Summationsformel, die von \textit{A. Weil} [Acta Math. 111, 143-211 (1964; Zbl 0203.03305)] eingeführt wurde. In [Tata lectures on theta. III (Birkhäuser, Basel) (1991; Zbl 0744.14033)] von \textit{D. Mumford, M. Nori} und \textit{P. Norman} wird gezeigt (Corr. 8.9), daß man aus dieser Summationsformel durch passende Wahl der in ihr auftretenden Schwartz-Funktion die Transformationsformel für die Thetafunktion gewinnen kann, allerdings zunächst nur für den Fall, daß \(e\) die Einheitsmatrix ist, d.h., für die klassische Siegelsche Modulgruppe. Verf. verallgemeinert in der vorliegenden Arbeit die Poissonsche Summationsformel so, daß man auf dem angegebenen Weg die Thetatransformationsformel für die allgemeine paramodulare Gruppe herleiten kann.