Orbits under algebraic groups and logarithms of algebraic numbers (Q2773286)

La conjecture classique d'indépendance algébrique de logarithmes de nombres algébriques linéairement indépendants sur \(\mathbb{Q}\) a été reformulée par D. Roy sous une forme proche de celle des théorèmes de Raynaud-Hindry et Vojta-Faltings (ex-conjecture de Lang). Plus précisément, les points à coordonnées logarithmes de nombres algébriques (ou combinaisons linéaires de ces mêmes logarithmes) d'une sous-variété algébrique \(X\) de \(\mathbb{C}^q\) (ou \(\mathbb{C}_p^q\)) définie sur \(\overline{\mathbb{Q}}\), devraient tous appartenir à l'union des sous-espaces linéaires continus dans \(X\), définies sur \(\overline{\mathbb{Q}}\). NEWLINENEWLINENEWLINEDans ce texte, l'A. s'intéresse au cas des variétés images par le plongement diagonal de \(\mathbb{C}^m\) (ou \(\mathbb{C}_p^m\)) dans ses puissances symétriques \(k\)-ièmes. Il démontre la conjecture pour ces variétés lorsque \(k\geq 3\) et il montre, de plus, qu'elle est vraie pour tous \(k\) et \(m\) dès qu'elle l'est pour \(k=m=2\). Les autres cas connus de la conjecture sont: les variétés linéaires (trivial); certaines variétés déterminantielles et les grassmanniennes de \(k\)-espaces dans \(\mathbb{C}^m\) pour \(2\leq k\leq m-2\) et \((k,m)\neq (2,4)\) (dû à D. Roy).