Triplets spectraux pour les variétés à singularité conique isolée. (Spectral triples for pseudomanifolds with isolated singularity) (Q2773564)

Sei \(M\) eine kompakte differenzierbare Mannigfaltigkeit und sei \(D\) ein linearer elliptischer Differentialoperator auf \(M\). Für ein komplexes Vektorbündel \(E\) auf \(M\) hängt der Index des getwisteten Operators \(D_E\) nur von der Äquivalenzklasse des Bündels in \(K^*(M)\) ab. Man erhält so einen Homomorphismus NEWLINE\[NEWLINE\begin{aligned}\bigcap D: K^*(M) &\to K^*(pt.)= \mathbb{Z},\\ E &\to \text{Index}(D_E).\end{aligned}NEWLINE\]NEWLINE Der Chern-Charakter NEWLINE\[NEWLINEch^*: K^*(M)\otimes \mathbb{Q} @>\simeq >> H^*(M,\mathbb{Q})NEWLINE\]NEWLINE und der Poincarésche Dualitätssatz erlauben es, diesen Index als Wert der kohomologischen Paarung NEWLINE\[NEWLINE\text{Index}(D_E)= \langle ch_*(D), ch^*(E)\rangle= \int_M ch_*(D)\wedge ch^*(E)NEWLINE\]NEWLINE mit einer geeigneten Homologieklasse \(ch_*(D)\in H_*(M,\mathbb{Q})\) auszudrücken. Die Bestimmung dieser Klasse ist Inhalt des Indextheorems von Atiyah-Singer.NEWLINENEWLINENEWLINEIn seiner Nichtkommutativen Geometrie hat \textit{A. Connes} die Indextheorie in einem sehr allgemeinen Rahmen weiterentwickelt. Statt einer Mannigfaltigkeit betrachtet man eine nicht notwendig kommutative lokalkonvexe komplexe Algebra \(A\). Die Rolle der topologischen K-Theorie spielt die Operator K-Theorie, die in geradem Grad durch die Grothendieck-Gruppe der endlich erzeugten projektiven Moduln und in ungeradem Grad durch die Zusammenhangskomponenten der allgemeinen linearen Gruppe über \(A\) gegeben wird.NEWLINENEWLINENEWLINEDie Rolle eines elliptischen Operators spielt nun ein K-Zykel \(({\mathcal H},\rho,D)\) über einer dichten Unteralgebra \({\mathcal A}\) von \(A\). Dabei ist \({\mathcal H}\) ein separabler Hilbertraum, \(\rho\) eine Darstellung von \({\mathcal A}\) auf \({\mathcal H}\), sowie \(D\) ein unbeschränkter selbstadjungierter Operator auf \({\mathcal H}\) mit kompakter Resolvente, dessen Kommutatoren mit den Elementen im Bild von \(\rho\) beschränkt sind.NEWLINENEWLINENEWLINEDie korrekte Verallgemeinerung des Chern Charakters und der (de Rham) Kohomologie wird nach Connes durch die periodische zyklische Homologie \(HP_*\) und den Charakter NEWLINE\[NEWLINEch_*: K_*(A)\to HP_*(A)NEWLINE\]NEWLINE geliefert.NEWLINENEWLINENEWLINEIst ein K-Zykel hinreichend regulär, so besitzt er einen Charakter in der periodischen zyklischen Kohomologie. Dieser Charakter wird durch einen periodischen zyklischen Kozykel \(ch({\mathcal H},\rho,D)\) gegeben, der die Indexformel NEWLINE\[NEWLINE\text{Index}(D_x)= \langle ch({\mathcal H},\rho, D), ch(x)\rangle,\quad x\in K_*(A),NEWLINE\]NEWLINE erfüllt. Die explizite Form und daher auch die Nützlichkeit eines solchen Charakters hängt sehr stark von der Regularität des gegebenen K-Zykels ab. Ohne einschränkende Regularitätsbedingungen existiert kein Charakter mit Werten in der periodischen zyklischen Kohomologie. Ist \(({\mathcal H},\rho,D)\) endlich summierbar, sind also die Kommutatoren \([D,a]\), \(a\in{\mathcal A}\) nicht nur kompakt sondern sogar in einem der Schattenideale \(\ell^p({\mathcal H})\) der \(p\)-summierbaren Operatoren enthalten, so existieren nach Connes Charaktere \(ch^n({\mathcal H}, D)\), \(2n> p\), die durch die Formel NEWLINE\[NEWLINEch_{2n}({\mathcal H}, D)(a^0,\dots, a^{2n})= n!\cdot\text{Trace}(D^{-1}[D, a^0] D^{-1}[D,a^1]\cdots D^{-1}[D, a^{2n}])NEWLINE\]NEWLINE gegeben und zueinander kohomolog sind. Der Nachteil dieser Formel besteht darin, dass die Operatorspur die Kenntnis des Spektrums des Operators voraussetzt. Im Fall \({\mathcal A}={\mathcal C}^\infty(M)\) wird diese Spur durch ein Integral über globale Terme, die nicht lokal durch die Koeffizienten des Operators bestimmt sind, ausgedrückt.NEWLINENEWLINENEWLINEDieser Mißstand wurde von Connes und Moscovici überwunden. Sie fanden eine ``lokale Indexformel'' für K-Zykel, die einer sehr viel stärkeren Regularitätsbedingung genügen, die sogenannten spektralen Tripel. Diese wird durch eine neue Charakterformel \(ch'=\sum_n ch_{2n}'\) mit NEWLINE\[NEWLINEch_{2n}'({\mathcal H}, D)(a^0,\dots, a^{2n})= \sum_{k,q} c_{k,q}\cdot \tau_q(a^0(da^1)^{(k_1)}\cdots (da^n)^{(k_n)}|D|^{-(2|k|+n)})NEWLINE\]NEWLINE für \(n> 0\) und \(ch_0'= \tau_{-1}\) geliefert, wobei \(da= [D,A]\), \(a^{(n)}= \nabla^k(a)\) mit \(\nabla(a)= [D^2, a]\) und schließlich NEWLINE\[NEWLINE\tau_q(P)= \textstyle{\text{Res}_{z=0}}(z^q\cdot \text{Tr}_s(P|D|^{-2z}))NEWLINE\]NEWLINE ist. Im Fall von elliptischen Differentialoperatoren auf kompakten Mannigfaltigkeiten wird die Charakterformel tatsächlich durch ein Integral über lokale Ausdrücke gegeben.NEWLINENEWLINENEWLINEIn der vorliegenden Arbeit wird die lokale Indexformel in der Nichtkommutativen Geometrie für elliptische Operatoren auf singulären Mannigfaltigkeiten berechnet. Der Autor betrachtet Differentialoperatoren vom Fuchsschen Typ auf einer kompakten Mannigfaltigkeit \(M\) mit einer isolierten konischen Singularität \(\infty\). Diese Klasse enthält beispielsweise Diracoperatoren auf Bündeln mit Zusammenhängen, die flach in radialer Richtung um die Singularität sind. Er benutzt Arbeiten von Cheeger, Brüning, Lesch und Seeley über den Pseudodifferentialkalkül auf singulären Mannigfaltigkeiten um zu zeigen, dass die betrachteten Operatoren den geforderten Regularitätsbedingungen genügen. Sie definieren spektrale Tripel über der Algebra der glatten und um die Singularität konstanten Funktionen auf \(M\). Mit Hilfe eines Ausschneidungssatzes gelingt es, die Indexformel in eine Summe von Beiträgen der Singularität und des glatten Teils von \(M\) zu zerlegen. Die Beiträge der Singularität ergeben sich aus den Arbeiten von Brüning, Seeley und Lesch. Getzlers supersymmetrischer Symbolkalkül erlaubt es dem Autor, die Beiträge des glatten Teils von \(M\) in der obigen lokalen Indexformel zu berechnen. Man findet für den Diracoperator mit Koeffizienten in einem Vektorbündel \(E\) die Identitäten NEWLINE\[NEWLINEch_{2n}'(a^0,\dots, a^{2n})= c_n \int_M a^0 da^1\wedge\cdots\wedge da^n\wedge\widehat A(M)\wedge ch(E)NEWLINE\]NEWLINE in Grad \(2n>0\), während in Grad \(0\) NEWLINE\[NEWLINEch_0'(a^0)= \int_M (a^0- a^0(\infty))\cdot\widehat A(M)\wedge ch(E)+ a^0(\infty)\cdot\text{Ind}(D_+)NEWLINE\]NEWLINE ist.