Tangent-\(n\)-gons at ovals (Q2780790)

Eine stetig differenzierbare, einfach geschlossene, streng konvexe Kurve \(E\) wird Eilinie genannt. Eine Müllersche \(n\)-Seite einer Eilinie \(E\) ist eine einfach geschlossene Tangenten-\(n\)-Seite von \(E\), bei dem der Berührungspunkt jeder Seite gerade der jeweilige Seitenmittelpunkt ist. NEWLINENEWLINENEWLINEDer Autor geht einer Frage der affinen Geometrie von Hans Robert Müller nach, welche lautet: Welche Müllerschen \(n\)-Seite besitzen eine Eilinie \(E\)? Des weiteren wird untersucht, welche Eilinien vorgegebene, durch Müllersche \(n\)-Seiten bestimmte Eigenschaften besitzen. Diese Fragen werden wie folgt beantwortet. Zunächst wird nachgewiesen, dass jede beliebige Eilinie \(E\) für jedes \(n\geq 3\) mindestens 2 Müllersche \(n\)-Seiten besitzt (Satz 3.2). Der Autor gibt Beispiele von Eilinien, die genau 2 Müllersche \(n\)-Seiten besitzen. Umgekehrt wird bewiesen, dass es zu jedem \(n\geq 3\) immer eine Eilinie gibt, die genau \(k=2\) Müllersche \(n\)-Seiten besitzt. Für beliebiges \(k \geq 3\) ist diese Frage offen. Der Beweis dieser Aussage geht im wesentlichen auf die folgende Äquivalenz über \(n\)-angepasste Eilinien \(E\) (d.h. jeder Punkt auf \(E\) ist Berührungspunkt einer Müllerschen \(n\)-Seite) zurück: (1) \(E\) ist eine Ellipse, (2) \(E\) ist angepasst, d.h. \(n\)-angepasst für alle \(n\geq 3\), (3) \(E\) ist 3-angepasst.