Meromorphic functions with arithmetic conditions and applications to irrationality (Q2781068)

Verf. beweist eine Reihe allgemeiner Sätze, die Zusammenhänge zwischen der Wachstumsordnung \(\rho(f)\) einer meromorphen transzendenten Funktion \(f\) und dem Anwachsen der Nenner der algebraischen Werte ihrer Ableitungen an gewissen Argumentstellen beschreiben. Ferner wird die Abhängigkeit der Anzahl der Stellen, an denen \(f\) und seine Ableitungen gewisse algebraische Werte annehmen, von den vorher genannten Größen studiert. Man kann die erzielten Ergebnisse in vier Gruppen anordnen. NEWLINENEWLINENEWLINE1) \textit{E.-M. Nikishin} [Math. Notes 29, 270-271 (1981); translation from Mat. Zametki 29, 525-527 (1981; Zbl 0481.10035)] hat für ganze \(f\) mit \(\rho(f) < 2\) gezeigt: Wenn \(f\) und alle seine Ableitungen an zwei Stellen \(\alpha_1, \alpha_2\) eines imaginär-quadratischen Zahlkörpers \(K\) Werte in \(K\) annehmen, so wachsen deren Nenner mit der Ableitungsordnung nicht zu langsam an; dabei wird zusätzlich eine in Praxis schwer kontrollierbare Integralbedingung vorausgesetzt. Verf. gelingt es, diese Bedingung wenigstens bei \(\rho(f) < 3/2\) fast ersatzlos zu streichen, und damit neue ``Irrationalitätsaussagen zu gewinnen, denen er auch eine quantitative Fassung anfügt. Nikishins Satz wird schließlich auf ganze \(f\) mit \(\rho(f) < +\infty\) und Stellen \(\alpha_1,\ldots,\alpha_m \in K\) mit \(m > \rho(f)\) verallgemeinert, allerdings wieder unter Voraussetzung eines schwachen Analogons der alten Integralbedingung. NEWLINENEWLINENEWLINE2) Das zentrale Ergebnis ist hier folgende Verallgemeinerung eines Satzes von \textit{G. V. Chudnovsky} [Ann. Math. (2) 109, 353-376 (1979; Zbl 0408.10021)]: Sei \(f\) meromorph und es gebe \(w_1,\ldots,w_m\in\overline{\mathbb Q}\) mit \(f^{(k)}(w_i) = c_{k,i}\beta_i\) für \(i = 1,\ldots,m\) und alle \(k \geq 0\), wobei \(\beta_1,\ldots,\beta_m\in \overline{\mathbb Q}\) sind und alle \(c_{k,i}\in {\mathbb Q}\). Wachsen die Nenner der \(c_{k,i}\) mit \(k\) nicht zu schnell, so gilt \(m \leq \rho(f)\). Interessante -- wenngleich bekannte -- Anwendungen, z.B. auf Werte der Weierstraßschen \(\wp\)-Funktion, werden ebenfalls gegeben. NEWLINENEWLINENEWLINE3) Das Hauptergebnis besagt hier, daß ein meromorphes \(f\) mit \(\rho(f) < +\infty\) eine gewisse simultane Approximation von Argumentstellen und sämtlichen Ableitungen an diesen Stellen durch Elemente aus \(K\) an höchstens endlich vielen Stellen möglich ist. Diese Höchstzahl wird nach oben explizit durch \(\rho(f)\) und das Nennerwachstum der approximierenden Zahlen beschränkt. Das Beweisprinzip geht auf \textit{M. Mignotte} und \textit{M. Waldschmidt} [Indag. Math. 37, 213-223 (1975; Zbl 0305.10027)] zurück. Anwendungen betreffen hypergeometrische und Besselfunktionen sowie die unvollständige Gammafunktion. NEWLINENEWLINENEWLINE4) Im Schlußabschnitt wird ein von \textit{G. V. Chudnovsky} [Sémin. Delange-Pisot-Poitou, 19e année; 1977/78, Théorie des nombres, Fasc. 2, Exp. No. 45 (1978; Zbl 0396.10022)] ohne Beweis angegebenes Resultat aufgegriffen und ein durchsichtiger Beweis geliefert: Nimmt ein meromorphes \(f\) mit \(\rho(f) < +\infty\) an \(w_1,\ldots,w_m\in{\mathbb C}\) mit \(m > \max(1,\rho(f))\) mit all seinen Ableitungen ganze Werte in \(K\) an, so lassen sich nicht alle \(w_i\) sehr gut durch Zahlen aus \(K\) simultan approximieren.