On a class of domains having Prüfer integral closure: The \(FQR\)-domains (Q2785939)

Soient \(R\) un anneau intègre de corps des fractions \(K\) et \(S\) un système multiplicatif d'idéaux de \(R\). Alors l'anneau \(R_S= \{x\in K\mid xI\subseteq R\) pour un idéal \(I\) de \(S\}\) est appelé la transformation généralisé de \(R\) ou l'anneau généralisé des fractions de \(R\). En particulier, si \(F\) est un système localisant d'idéaux de \(R\) s'obtient l'anneau \(R_F\). On dit que l'anneau intègre \(R\) est un \(GQR\)-anneau intègre (resp. \(FQR \)-anneau intègre) si tout sous-anneau \(T\) de \(K\) qui contient \(R\) est un anneau de la forme \(R_S\) (resp. \(R_F)\) pour \(S\) un système multiplicatif d'idéaux de \(R\) (resp. pour \(F\) un système localisant d'idéaux de \(R)\). Les auteurs démontrent des relations entre les deux classes d'anneaux intègres et d'autres classes d'anneaux intègres. Par exemple, on demontre que, pour un anneau intègre, intégralement clos \(R\), les conditions suivantes sont équivalentes: NEWLINENEWLINENEWLINE(a) \(R\) est un anneau de PrüferNEWLINENEWLINENEWLINE(b) \(R\) est un \(FQR\)-anneau intègre NEWLINENEWLINENEWLINE(c) \(R\) est un \(GQR\)-anneau intègre.NEWLINENEWLINENEWLINEOn démontre aussi que la clôture intégrale \(\overline R\) d'une \(FQR\)-anneau intègre est un anneau de Prüfer.NEWLINENEWLINEFor the entire collection see [Zbl 0855.00015].