On Radon transforms on compact Lie groups (Q2789865)

Sei \(G\) eine kompakte zusammenhängende Lie-Gruppe. Hinsichtlich einer biinvarianten Metrik auf \(G\) sind die Geodätischen bis auf Translationen gerade die Einparameter-Untergruppen von \(G\), also die Kurven \(t\mapsto x\gamma(t)\), wobei \(x\) ein Element von \(G\) und \(\gamma\) eine Einparameter-Untergruppe ist. Die Radon-Transformierte \(Rf\) einer \(C^\infty\)-Funktion \(f\) auf \(G\) wird als Funktion auf der Menge der geschlossenen Geodätischen definiert, deren Periode auf 1 normiert ist; \(Rf\) ist dann auf \(G\times\Gamma\) definiert durch NEWLINE\[NEWLINERf(x,\gamma):= \int^1_0 f(x\gamma(t))\,dt,NEWLINE\]NEWLINE wobei \(\Gamma\) die Menge der 1-periodischen Einparameter-Untergruppen ist.NEWLINENEWLINE Das Hauptergebnis der vorliegenden Arbeit ist nun die Antwort auf die Frage, für welche Gruppen \(G\) die Radon-Transformation \(f\mapsto Rf\), \(f\in C^\infty(G)=:{\mathcal T}\), injektiv ist. Es wird gezeigt, dass die Radon-Transformation für alle kompakten zusammenhängenden Lie-Gruppen \(G\) injektiv ist außer für den eindimensionalen Torus \(S^1\) und die Gruppe \(SU(2)=S^3\). (Für die Gruppen \(S^1\) und \(S^3\) kann man mit Hilfe der Antipoden-Abbildung leicht Funktionen \(f\neq 0\) im Kern von \(R\) konstruieren.) Beim Beweis wird die von \textit{A. Abouelaz} und \textit{F. Rouvière} [Mediterr. J. Math. 8, No. 4, 463--471 (2011; Zbl 1232.53061)] gezeigte Injektivität von \(R\) für die \(n\)-dimensionalen Tori \(\mathbb{T}^n =\mathbb{R}^n/\mathbb{Z}^n\), \(n\geq 2\), wesentlich verwendet.NEWLINENEWLINE Die Radon-Transformation \(R\) läßt sich auch auf den Raum \({\mathcal T}'\) der Distributionen auf \(G\) ausdehnen. Mittels Verwendung der Plancherel-Formel aus der Darstellungstheorie kompakter Gruppen vermag der Autor zu zeigen, dass die Injektivität von \(R\) auf \({\mathcal T}\) stets die Injektivität von \(R\) auf \({\mathcal T}'\) zur Folge hat.