The John equation for tensor tomography in three-dimensions (Q2832570)

Gegenstand der Arbeit ist die Röntgen-Transformation in \(\mathbb R^3\), freilich nicht im Rahmen der ``skalaren'' Integralgeometrie, sondern im Rahmen der ``Tensor-Integralgeometrie''; i.e., die Röntgen-Transformation wird nicht auf skalarwertige Funktionen angewendet, sondern auf Tensorfelder, genauer gesagt, auf symmetrische kovariante Tensorfelder \(f\) der Stufe \(m\).NEWLINENEWLINE Identifiziert man für jedes \(x\in\mathbb R^3\) den Kotangentialraum \(T_x(\mathbb R^3)^*\) mit \(\mathbb R^3\), so schreibt sich ein kovariantes symmetrisches Tensorfeld \(f\) der Stufe \(m\) in der Form NEWLINE\[NEWLINE\langle f(x), \xi^m\rangle= \sum^3_{i_1,\dots, i_m=1} f_{i_1\cdots i_m}(x)\,\xi_{i_1}\cdots\xi_{i_m},\;\xi\in T_x(\mathbb R^3)^*\cong \mathbb R^3.NEWLINE\]NEWLINE Die Röntgen-Transformierte \(If\) wird nun definiert durch NEWLINE\[NEWLINEIf(x,\xi)= \int^\infty_{-\infty} \langle f(x+ t\xi),\,\xi^m\rangle\,dt,\;x\in\mathbb R^3,\;0\neq \xi\in \mathbb R^3,NEWLINE\]NEWLINE (cf. (2.1.10) in [\textit{V. A. Sharafutdinov}, Integral geometry for tensor fields. Transl. from the Russian. Utrecht: VSP (1994; Zbl 0883.53004)]). Man kann nun das Bild der Röntgen-Transformation \(I: f\mapsto\psi:= If\) durch \({1\over 2}(m+ 2) (m+ 3)\) Differentialgleichungen beschreiben [loc. cit., Theorem 2.10.1]. (Für skalarwertige Funktionen hatte John bereits im Jahr 1938 das Bild der Röntgen-Transformation als Kern eines einzigen Differentialoperators in vier Variablen charakterisiert.)NEWLINENEWLINE Das Ziel der vorliegenden Arbeit besteht nun darin, die zuvor genannte Beschreibung des Bildes von \(I\) durch Reduktion der Variablen und der Anzahl der linear unabhängigen Gleichungen zu vereinfachen. Dazu führen die Autoren eine Koordinatentransformation durch, unter der sich jede dieser \({1\over 2} (m+ 2) (m+3)\) Gleichungen als äquivalent zu einer einzigen Gleichung in vier Variablen erweist, so dass sich eine Beschreibung des Bildes von \(I\) durch die Gleichung \(L^{m+1}\varphi=0\) ergibt, wobei die Funktion \(\varphi=\varphi(y,\alpha)\) durch die besagte Koordinatentransformation aus \(\psi= \psi(x,\xi)\) hervorgeht und der Operator \(L\) die Form \({\partial^2\over\partial y_1\partial\alpha_2}-{\partial^2\over\partial y_2\partial\alpha_1}\) hat.NEWLINENEWLINE Schließlich diskutieren die Autoren auch noch eine Verallgemeinerung ihres Resultats auf höhere Dimensionen \(n>3\).