Semi-local inversion of the geodesic ray transform in the hyperbolic plane (Q2852288)

Die Autoren liefern einen originellen Beitrag zur vielfach untersuchten Röntgen-Transformation in der hyperbolischen Ebene. Als Modell der hyperbolischen Ebene wird die obere Halbebene \(\mathbb{H}= \mathbb{R}\times\mathbb{R}^+\) zugrunde gelegt. Die Röntgen-Transformierte \(R\mu\) einer Funktion \(\mu\) auf \(\mathbb{H}\) wird durch Integration von \(\mu\) längs der Geodätischen \(\gamma\) in \(\mathbb{H}\) definiert. Um \(R\mu\) rechnerisch zu handhaben, werden die Geodätischen durch \((x, z,\beta)\in \mathbb{R}\times \mathbb{R}^+\times \mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}\) auf geschickte Weise (nicht-injektiv) parametrisiert. Im Fokus der Untersuchung steht die Herleitung einer auf dieser Parametrisierung beruhenden Inversionsformel; d.h., \(\mu\) soll aus den Werten \(R\mu(\gamma_{x,z, \beta})\) zurückgewonnen werden.NEWLINENEWLINE Zunächst wird eine interessante Ableitung \({\partial R\mu(\gamma_{x,z, \beta})\over\partial\pi}\) betrachtet, die auf der Variation von \(\gamma\) in ``senkrechter Richtung'' beruht. Die Berechnung von NEWLINE\[NEWLINE\int^{\beta_0+\pi}_{\beta_0} {\partial R\mu(\gamma_{x,z, \beta})\over\partial\pi}\,d\betaNEWLINE\]NEWLINE ist nun der entscheidende Schritt. Die Inversion einer Integraltransformation vom Typ der Hilbert-Transformation führt dann zur Wiedergewinnung von \(\mu\). Überdies liefert ein näheres Studium dieser Integraltransformation unter Verwendung von Methoden der komplexen Analysis eine Injektivitätseigenschaft der Abbildung \(\mu\mapsto R\mu\) für Funktionen \(\mu\), die auf einer vorgegebenen offenen Teilmenge von \(\mathbb{H}\) mit einer reell-analytischen Funktion übereinstimmen.NEWLINENEWLINE Die gewonnene Inversionsformel hat sogar im Gegensatz zu den in der Literatur verbreiteten Inversionsformeln einen lokalen Charakter in dem Sinn, dass zur Wiedergewinnung von \(\mu(x, z)\) für einen Punkt \((x,z)\in\mathbb{H}\) aus den Werten von \(R\mu\) die Kenntnis von \(R\mu(\gamma)\) nur für eine Teilmenge aller Geodätischen \(\gamma\) erforderlich ist; und zwar werden zur Bestimmung der Werte von \(\mu\) auf einer gegebenen Geodätischen \(\gamma_0\)o nur die Werte \(R\mu(\gamma)\) für diejenigen \(\gamma\) benötigt, die eine Umgebung von \(\gamma_0\)o schneiden.