On the log-concavity of the degenerate Bernoulli numbers (Q2880336)

\textit{L. Carlitz} [Util. Math. 15, 51--88 (1979; Zbl 0404.05004)] définie les nombres de Bernoulli dégénérés \(\beta_{n}(\lambda )\) formellement par NEWLINE\[NEWLINE\frac{t}{1+\lambda t)^{1/\lambda }-1}=\sum_{n=0}^{\infty }\beta_{n}(\lambda )\dfrac{t^{n}}{n!}.NEWLINE\]NEWLINE \(\beta_{n}(\lambda )\) est un polynôme en \(\lambda \) de degré \(n\) à coefficients rationnels. Il est bien connu et résulte immédiatement de la définition que \(\pm 1\) sont zéros de \(\beta_{n}(\lambda )\), le second auteur [J. Number Theory 128, No. 4, 738--758 (2008; Zbl 1204.11053)] a montré, que pour \(n\) impair, \(\pm 1/d\) est zéro de \(\beta_{n}(\lambda )\) pour tout diviseur \(d\) de \(n-2\). On a aussi vérifié que pour \(n \leq 100\) tout zéro de \(\beta_{n}(\lambda )\) vérifie \(|\lambda |\leq 1.\) Motivé par ces résultats, les auteurs cherchent des encadrements précis des zéros de \(\beta_{n}(\lambda )\), il utilisent pour cela un théorème de \textit{S. Kakea} [Tôhoku Math. J. 2, 140--142 (1912; JFM 43.0147.03)]. Qui affirme que si \(p(x)=a_{0}+a_{1}x+ \dots +a_{m}x^{m}\) est un polynôme à coefficients positifs, tout zéro de \(p(x)\) est en module compris entre \(\min(a_{i}/a_{i+1})\) et \(\max(a_{i}/a_{i+1})\), dans ce but, les auteurs appliquent une transformation à \(\beta_{n}(\lambda )\) en un polynôme \(\alpha (x)\) lequel en utilisant des estimations des nombres de Bernoulli de second type, et le fait que la fonction \((s-1)\zeta(s)\) \ (\(\zeta(s)\) fonction zeta de Riemann) est log-concave pour \(s\) réel suffisamment grand, ils montrent que le polynôme \(\alpha _{n}(x)\) est log-concave, c'est-à-dire~: écrivons \(\alpha (x)=a_{0}+a_{1}x+ \dots +a_{m}x^{m}\), cela signifie que les coefficients \(a_{i}\) sont positifs et \(a_{i-1}a_{i+1}\leq a_{i}^{2}\). Le théorème de Kakea appliqué à \(\alpha (x)\) veut dire simplement que les zéros de \(\alpha (x)\) vérifient NEWLINE\[NEWLINE\dfrac{a_{0}}{a_{1}} \leq |x| \leq \dfrac{a_{m-1}}{a_{m}}.NEWLINE\]NEWLINE Les auteurs en déduisent des encadrements explicites et simples des zéros de \(\beta_{n}(\lambda )\). La borne supérieur \(1+\log (n-1)\) obtenue est loin de l'optimum, cela est du sans doute au fait que le théorème de Kakea, ne donne habituellement que des estimations grossières des zéros des polynômes. Enfin les auteurs conjecturent que tout zéro \(\lambda \in \mathbb{C}\) de \(\beta_{n}(\lambda )\) vérifie \(|\lambda |\leq 1.\)