Algebraic independence of real numbers with low density of nonzero digits (Q2895956)

Es seien generell \(\alpha\in\mathbb{Z}_{\geq 2}\), \(\xi,\xi_1,\ldots,\xi_r\in\mathbb{R}_+ \setminus\mathbb{Q}\). Bei \(R\in\mathbb{R}_+\) bezeichne \(\lambda(\alpha,\xi,R)\) die Anzahl nicht verschwindender unter den ersten \(1+[R]\) Ziffern der \(\alpha\)-adischen Entwicklung von \(\xi\). Verf. zeigt bei algebraischem \(\xi\) die Existenz effektiv berechenbarer, nur von \(\alpha,\xi\) abhängiger Konstanten \(C,C'\in\mathbb{R}_+\), so dass \(\lambda(\alpha,\xi,N) \geq CN^{1/\deg\xi}\) für jedes ganze \(N\geq C'\) gilt. Dabei folgt Verf. der Vorgehensweise von \textit{D. H. Bailey} et al. [J. Théor. Nombres Bordx. 16, No. 3, 487--518 (2004; Zbl 1076.11045)], die den Spezialfall \(\alpha=2\) behandelten. Während sich diese Autoren jedoch auf den Rothschen Approximationssatz stützten (und damit ihr \(C'\) ineffektiv ist), verwendet Verf. an analoger Beweisstelle den Satz von Liouville. Dasselbe Resultat bewiesen übrigens auch \textit{B. Adamczewski} und \textit{C. Faverjon} [C. R., Math., Acad. Sci. Paris 350, No. 1--2, 1--4 (2012; Zbl 1264.11067)].NEWLINENEWLINEAls Korollar zum zitierten Satz ergibt sich die Transzendenz von \(\xi\), falls \(\lambda(\alpha,\xi,N)=o(N^\varepsilon)\) bei beliebigem \(\varepsilon\in\mathbb{R}_+\) gilt. Hieraus folgt einerseits die Transzendenz von \(\eta_l:=\sum_{n>0}\alpha^{-[f_l(n)]}\) für jedes \(l\in\mathbb{R}_+\), wenn \(f_l(x):=\exp((\log x)^{1+l})\) für \(x\geq1\) gesetzt ist. Andererseits liefert das Korollar den Fall \(r=1\) eines Kriteriums für algebraische Unabhängigkeit (kurz: a.U.) von \(\xi_1,\ldots,\xi_r\), dem Hauptergebnis dieser Arbeit, dessen Formulierung hier zu umfangreich wäre. Als Anwendung des Kriteriums wird die a.~U. der Menge \(\{\eta_l\mid l\geq1\}\) gezeigt; ob hier \(l\geq1\) durch \(l>0\) ersetzt werden kann, bleibt offen. In diese Richtung wird noch die a.~U. von \(\eta_l,\eta_m\) für verschiedene \(l,m\in\mathbb{R}_+\) bewiesen.