A uniform reconstruction formula in integral geometry (Q2898430)

In Anlehnung an seine frühere Arbeit [Inverse Probl. Imaging 4, No. 4, 693--702 (2010; Zbl 1213.53094)] präsentiert der Autor eine allgemeine Integraltransformation vom Radonschen Typ für eine Familie von Hyperflächen in einer \(n\)-dimensionalen Mannigfaltigkeit \(X\), \(n> 1\). Diese Familie von Hyperflächen wird durch Vorgabe einer weiteren \(n\)-dimensionalen Mannigfaltigkeit \(\Sigma\) und einer reellwertigen glatten Funktion \(\Phi\) auf \(X\times\Sigma\) gewonnen, die gewissen Regularitätsbedingungen genügt. Mit \(Z(\sigma):= \{x\in X\mid\Phi(x,\sigma)= 0\}\), \(\sigma\in\Sigma\), ist dann nämlich eine Familie von Hyperflächen in \(X\) gegeben. Der Autor nennt \(\Phi\) eine ``erzeugende Funktion''.NEWLINENEWLINE Sei jetzt speziell \(X\) eine offene Teilmenge eines Euklidischen Raumes \(E^n\), auf dem eine Volumenform \(dV\) erklärt ist. Nun wird eine \((n-1)\)-Form \(q\) auf \(X\) mit \(d\Phi\wedge q= dV\) bestimmt und die Integraltransformation NEWLINE\[NEWLINEM_\Phi f(\sigma):= \int_{Z(\sigma)} fq,\quad f\in C_c(X),NEWLINE\]NEWLINE betrachtet. Der Autor nennt \(M_\Phi\) die ``durch \(\Phi\) erzeugte Funk-Radon-Transformation''. (Im Fall \(X= \mathbb{R}^n\), \(\Sigma= \mathbb{R}\times S^{n-1}\), \(\Phi(x; \lambda,\omega)= \langle\omega,x\rangle-\lambda\) is \(M_\Phi\) gerade die klassische Radon-Transformation auf \(\mathbb{R}^n\).)NEWLINENEWLINE Nun wird generell angenommen, dass \(\Sigma= \mathbb{R}\times S^{n-1}\) ist und dass die erzeugende Funktion \(\Phi\) auf \(X\times\Sigma\) die Form \(\Phi(x;\lambda,\omega)- \lambda\) hat, wobei \(\theta\) eine glatte Funktion auf \(X\times S^{n-1}\) ist. Das Hauptergebnis der Arbeit besteht in der Angabe von Inversionsformeln für die Transformation \(M_\Phi\), wobei gewisse Bedingungen an \(\theta\) erfüllt sein müssen. Hierbei unterscheidet der Autor die Fälle ``\(n\) gerade'' und ``\(n\) ungerade'' und setzt in jedem dieser beiden Fälle das Verschwinden bestimmter singulärer Integrale in Termen von \(\theta\) voraus. (Die klassischen Inversionsformeln der Radon-Transformation auf \(\mathbb{R}^n\) erweisen sich dabei als Spezialfälle der Inversionsformeln des Autors.) Der Autor benutzt jetzt seine Inversionsformeln zur Behandlung diverser Inversionsprobleme auf der Sphäre und auf dem hyperbolischen Raum. Schließlich wird das Hauptresultat auch in \(X=\mathbb{R}^n\) angewendet für konkrete Familien von Hyperflächen wie etwa Sphären, Ellipsoide, elliptische Zylinder oder Kreise in der Ebene, die in den Punkten gewisser algebraischer Kurven zentriert sind.