Quadratic differentials, half-plane structures, and harmonic maps to trees (Q290760)

Le but de cet article est de donner une correspondance entre certaines formes différentielles méromorphes sur des surfaces de Riemann, certaines surfaces de demi-translations et des fonctions harmoniques d'une surface de Riemann pointée vers un graphe (voir ci-dessous pour plus de détails).NEWLINENEWLINE La correspondance entre formes différentielles et surfaces de translations est maintenant bien connu et abondamment étudié. On pourra consulter [\textit{A. Zorich}, in: Frontiers in number theory, physics, and geometry I. On random matrices, zeta functions, and dynamical systems. Papers from the meeting, Les Houches, France, March 9--21, 2003. Berlin: Springer. 437--583 (2006; Zbl 1129.32012)] pour le cas holomorphe et [\textit{C. Boissy}, Comment. Math. Helv. 90, No. 2, 255--286 (2015; Zbl 1323.30060)] dans le cas méromorphe. De plus, des correspondances plus dans l'esprit de cet article sont données dans [\textit{K. Strebel}, Quadratic differentials. Berlin etc.: Springer-Verlag (1984; Zbl 0547.30001)].NEWLINENEWLINELa correspondance entre formes différentielles et fonctions harmoniques est de mon point de vue l'intérêt principal de cet article. Une correspondance similaire pour les différentielles quadratiques holomorphes avait déjà été prouvée par [\textit{M. Wolf}, J. Anal. Math. 68, 107--120 (1996; Zbl 0862.30043)]. NEWLINENEWLINENous allons maintenant décrire avec plus de détails ces correspondances.NEWLINENEWLINESoient \((X,p)\) une surface de Riemann pointée et \(\eta\) une différentielle quadratique ayant un pôle d'ordre \(k+2\leq-3\) en \(p\). Nous rappelons que le \textit{graphe critique} est le graphe sur \(X\) dont les sommets sont les singularités de \(\eta\) d'ordre supérieur à \(-1\) et les arêtes sont les trajectoires horizontales de \(\eta\) émanant des sommets. On considérera l'ensemble \(\mathcal{H}\mathcal{P}_{k}(X,p)\) des différentielles \(\eta\) sur \((X,p)\) ayant un pôle d'ordre \(k+2\) en \(p\) dont le graphe critique est connexe.NEWLINENEWLINEOn peut maintenant construire un surface de translation infinie de la façon suivante. On prend \(k\) demi-plans supérieurs et on identifie les bords par un nombre fini de translations et de rotations d'angle \(\pi\). L'ensemble de ces surfaces de demi-translation, dont la surface de Riemann sous-jacente est \(X\setminus p\), est noté \(\mathcal{P}_{k}(X,p)\).NEWLINENEWLINEDécrire les fonctions harmoniques nécessite d'introduire plus d'objets que ce résumé ne peut contenir, donc nous ne donnerons qu'une description superficielle. On note \(X_{k}\) le graphe (métrique) avec un unique sommet et \(k\) arêtes verticales de longueurs infinie. Nous pouvons considérer les \textit{fonctions modèles} qui, au voisinage de l'infini, ressemblent à une fonction contractant sur \(X_{k}\) les feuilles horizontales d'un recollement de \(k\) demi-plans. On peut alors considérer l'ensemble \(\mathcal{H}_{k}(X,p)\) des fonctions harmoniques de \(X\setminus p\) vers \(X_{k}\) qui sont à distance finie d'une fonction modèle au voisinage de \(p\).NEWLINENEWLINELe théorème principal est le suivant: Les espaces \(\mathcal{H}\mathcal{P}_{k}(X,p)\), \(\mathcal{P}_{k}(X,p)\) et \(\mathcal{H}_{k}(X,p)\) sont homéomorphes.NEWLINENEWLINEPour passer de \(\mathcal{H}\mathcal{P}_{k}(X,p)\) à \(\mathcal{H}_{k}(X,p)\), on utilise la fonction qui contracte les feuilles horizontales de \(\eta\) sur \(X_{k}\) (où le sommet de \(X_{k}\) est un zéro de \(\eta\)) et dans l'autre sens, on prend la différentielle de Hopf de la fonction harmonique.